Теорема Arrow (о справедливых выборах)

beerukoffa

Прикольная вещь. Вспомнилась в связи с выборами модераторов, но интересна и сама по себе.
http://en.wikipedia.org/wiki/Arrow's_paradox
The theorem's content, somewhat simplified, is as follows. A society needs to agree on a preference order among several different options. Each individual in the society has his or her own personal preference order. The problem is to find a general mechanism, called a social choice function, which transforms the set of preference orders, one for each individual, into a global societal preference order. This social choice function should have several desirable ("fair") properties:
unrestricted domain or universality: the social choice function should create a complete societal preference order from every possible set of individual preference orders. (The vote must have a result that ranks all possible choices relative to one another, and the voting mechanism must be able to process all possible sets of voter preferences.)
non-imposition or citizen sovereignty: every possible societal preference order should be achievable by some set of individual prereference orders. (Every result must be achievable somehow.)
non-dictatorship: the social choice function should not simply follow the preference order of a single individual while ignoring all others.
positive association of social and individual values or monotonicity: if an individual modifies his or her preference order by promoting a certain option, then the societal preference order should respond only by promoting that same option or not changing, never by placing it lower than before. (An individual should not be able to hurt a candidate by ranking it higher.)
independence of irrelevant alternatives: if we restrict attention to a subset of options, and apply the social choice function only to those, then the result should be compatible with the outcome for the whole set of options. (Changes in individuals' rankings of "irrelevant" alternatives [i.e., ones outside the subset] should have no impact on the societal ranking of the "relevant" subset.)
Arrow's theorem says that if the decision-making body has at least two members and at least three options to decide among, then it is impossible to design a social choice function that satisfies all these conditions at once.
Another version of Arrow's theorem can be obtained by replacing the monotonicity criterion with that of:
unanimity or Pareto efficiency: if every individual prefers a certain option to another, then so must the resulting societal preference order.
This statement is stronger, because assuming both monotonicity and independence of irrelevant alternatives implies Pareto efficiency.
With a narrower definition of "irrelevant alternatives" which excludes those candidates in the Smith set, some Condorcet methods meet all the criteria.
Краткое содержание. Требуется провести выборы, чтобы расставить кандидатов по порядку предпочтения, т.е. получить упорядоченный список. Каждый избиратель имеет свой список с пронумерованными по порядку предпочтения кандидатами. Нужно придумать правила проведения выборов, которые преобразуют списки, составленные избирателями в итоговый список кандидатов (результат выборов).
Правила должны удовлетворять следующим условиям.
1. Правила должны работать (давать определенный результат) для любого набора голосов (каждый голос - упорядоченный список кандидатов).
2. Любой итоговый результат должен быть достижим (т.е. нельзя, например, просто сортировать кандидатов по алфавиту).
3. Итоговый список не может составляться простым копированием списка только одного избирателя ("отсутствие диктатуры").
4. Если один из избирателей перемещает одного из кандидатов выше в своем списке (корректирует свой список в итоговом списке этот кандидат не должен опуститься ниже.
5. Если применяем правила на некоторое подмножество кандидатов (при этом из списков выбрасываются "лишние" кандидаты, а порядок остальных сохраняется то итоги таких ограниченных выборов не должны противоречить итогам полных выборов (т.е. должны получаться из итогов полных выборов выбрасыванием "лишних" кандидатов с сохранением порядка оставшихся).
Теорема Эрроу утверждает, что если избирателей не меньше двух, а кандидатов не менее трех, то правил выборов, которые удовлетворяют условиям 1-5 не существует.
Условие 4 может быть заменено на: если все избиратели расположили в своих списках A выше, чем Б, то в итоговом списке А должен быть выше Б.
Короче, справедливых демократических и работающих всегда правил выборов не существует

kliM

Значит слишком жесткие условия на голосование наложены. Т.к. такие условия полностью отрицают компромисс. Стоит попробовать минимизировать суммарное недовольство избирателей результатами (знать бы только как его измерять! очевидно в таком случае решение всегда будет существовать.

spiritmc

Давай ещё теорию рисков применим к выборам.
Во здорово будет!
Только как оценивать риски никто не знает.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

kliM

При чем тут риск?.. Кстати, нынешние выборы модераторов/президентов/одномандатников - как раз минимизируют недовольство избирателей, только постулируется что недовольство тем за кого он голосовал равно нуля, а всеми остальными - единице.

spiritmc

Вредные явления:
а) проставление наказаний мне;
б) проставление наказаний другим;
в) перенос ветки в чёрт знает какой раздел;
г) правка сообщений чёрт знает кем;
д) наезды со стороны других;
е) наезды со стороны чёрт знает кого.
Они же и опасности.
Они же и риски, если относятся к разделам, где я появляюсь.
Проставляем частоты и веса.
Ну, и так далее.
---
"Химическая технология --- самая научная наука."

kliM

Ок, можно считать что "недовольство" тем выше, чем выше ожидаемые потери от выбора такого-то кандидата. Точнее характеризует эти потери

spiritmc

Это и есть --- "минимизация риска."
Научный подход!
---
"Химическая технология --- самая научная наука."

beerukoffa

Главное понять, чего конкретно хочется в результате. Вариантов целевых функций бесконечно много, и большинство из них будут давать несовместимые результаты. И каждая из этих функций "справедлива" по-своему. Я так понимаю, одна из главных идей этой теоремы, что кандидаты сравниваются только по одному параметру (например, значению некоторой целевой функции что быстро приводит к противоречиям. А сравнивать по двум и более параметрам не получится - многомерные пространства не имеют естественного отношения порядка.
Так что, не бывает в политике "абсолютной справедливости", судьба у нее такой

spiritmc

Можно всем пользователям придать одинаковый вес и уменьшать риск,
полученный сложением индивидуальных.
---
...Я работаю антинаучным аферистом...

beerukoffa

А что это даст? Может, справедливее будет минимизировать дисперсию ущерба, а не среднее, типа, чтобы никому слишком обидно не было

Katty-e

---1. Правила должны работать (давать определенный результат) для любого набора голосов (каждый голос - упорядоченный список кандидатов).
Это не слишком удачное условие, обычно человек голосует не списком, а за одного кандидата. Как-то на моей памяти выборы по Кондорсе приводили к вполне определенным результатам...правда, так было два кандидата и однопиковые предпочтения.

beerukoffa

Для случая, когда голосуют только за одного кандидата, но выбирают как минимум из трех, есть упрощенная версия теоремы.
Пример почти из жизни, надо выбрать двоих из троих. Если в два тура - может получиться, что А набрал 50%, Б 30%, В 20%, во втором туре бодаются Б и В, но может получиться 30% у Б и 70% у В, потому что избиратели А сильно не хотят Б. Ну, а в один тур - избираются А и Б, но Б не хотят 70%. Что справедливее? Я не знаю.

Katty-e

Но выборы обычно устроены как выделение одного кандидата.
В примере мне больше нравится первый вариант с боданием.
Теоремы Эрроу мы слышали, только я лично прослушал, похоже .

Katty-e

Е
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: