площадь сферы

tatianasereb

как посчитать площадь n-мерной сферы? То что интеграл нодо взять понятно, но каким методом его можно взять? нутром чую что должен быть способ вычислить его в несколько строчек. Подскажите плиз

Runa

Площадь единичной сферы в R^n=(2пи^(n/2/Г(n/2 где Г-гамма функция.
при n=2k+1 S=(2пи^(k+1/k!
при n=2k S=22пи)^k/(2k-1)!

tatianasereb

прикол в том что ответ у меня есть, но его надо получить. Если кто знает короткий способ черкните плиз

beerukoffa

V_n = a_n r^n, Г_n = b_n r^{n-1} из соображений размерности, осталось найти a_n и b_n.
Из формулы Гаусса-Остроградского-Пуанкаре:
\int_{||x||=r} ||v(x)|| ds = \int_{||x||<=r} div v dx =>
r Г_n = n V_n => b_n = n a_n.
Объем V_n = 2 \int_0^r V_{n-1}(\sqrt{r^2-t^2}) dt = a_{n-1}\int_0^r (\sqrt{r^2-t^2})^{n-1} dt,
короче вычисляется рекурсивно.
Короче сейчас, на коленке, не придумал

beerukoffa

Забыл написать, поле v(x) берем с компонентами (x_1,...,x_n)

tatianasereb

Спасибо за помощь
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: