Задача про матрицу 4 на 4

alexandr8

есть матрица. Мне тут утверждают, что ее определитель можно подсчитать следующим образом

дописываем первые три столбца справа, суммируем произведения членов, расположенных на убывающих прямых и вычитаем произведения на возрастающих
11*22*33*44 + 12*23*34*41 итд - 14*23*32*41 - итд
если это так то куда делись 16 произведений из классического подсчета?

andrusha1973

какие такие 16 произведений?

klen1

я точно помню, что можно брать каждый член из скажем верхней строки и умножать на определить матрицы 3х3 которая получается вычеркиванием строки и столбца на которых стоит выбранный элемент. И потом просуммировать произведения для каждого члена строки такие произведения.
Называет разложение определителя по столбцу/строке.
Других методов для 4х4 и больше я не знаю

Maria-mirabella

взять знакопеременную сумму

andrusha1973

вышеприведенная схема работает для только матриц 3х3

shpanenoc

А также 2х2 и 1х1. Но для 4х4 не работает. Контрпример:
1000
0100
0001
0010
Определитель = -1, а по приведенному методу получается 0.
если это так то куда делись 16 произведений из классического подсчета?
Если мне не изменяет арифметика, то 4! = 24, а вовсе не 16.

Mausoleum

Если мне не изменяет арифметика, то 4! = 24, а вовсе не 16.
КО подсказывает: 24 слагаемых - 2*4 диагоналей = 16.

shpanenoc

ага, понял.

sboris

Если мне не изменяет арифметика, то 4! = 24, а вовсе не 16.
Ну да, 24. 8 по этой схеме и ещё 16 делись.

andrusha1973


А также 2х2 и 1х1
2х2 понятно,
а как же она будет работать 1х1?

forester_200

Периодически слышу эту "ересь" от своих студентов. Кажется, зловредный источник надо искать на просторах интернета.
Разумеется, никакого такого правила нет - ибо в общей формуле определителя 4!=24 слагаемых, которые в общем случае не могут в сумме давать то же число, что и 8 из этих 24 слагаемых.
Пример:
0 1 0 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
По "еретическому" правилу определитель = -1
По ортодоксальному = 1 (легко считается разложением по строке или столбцу)
Подчёркиваю, что правило не работает в общем случае - ведь не исключено, что для каких-то специальных матриц так оно и получается :o

sboris

2х2 понятно,
а как же она будет работать 1х1?
Неправильно будет работать)
2x2, кстати, тоже. ;)

sboris

Подчёркиваю, что правило не работает в общем случае - ведь не исключено, что для каких-то специальных матриц так оно и получается
Правило легко проверить для матриц 3x3. Для остальных - да, не работает, даёт неверное число слагаемых.

sboris

Периодически слышу эту "ересь" от своих студентов. Кажется, зловредный источник надо искать на просторах интернета.
Думаю, причина в том, что источники, пропагандирующие это правило, не разъясняют его статус: что это не общий закон, а лишь эмпирический способ посчитать определитель матриц именно третьего порядка. Ну или разъясняют, просто студенты в это не вникают, ослеплённые простотой этого правила по сравнению с классическим.
[философcкие рассуждения]
Вообще, это довольно глубокая проблема: стоит ли рассказывать подобные вещи. С одной стороны, если их правильно применять, то они в чём-то облегчают жизнь. С другой - могут вызывать подобные заблуждения, если не усвоить область применимости.
Практический же вывод здесь в том, что когда человека чему-то учишь, нужно знать предел того, что он может усвоить без искажений - этот предел для всех разный. Кому-то нужны типовые алгоритмы, а кому-то проще работать с десятком простых, но нестандартных, умело применяя их по необходимости. Причём второе, как правило, более ценно - это как раз то умение, которое у некоторых остаётся после того, как сданы и забыты все зачеты и экзамены. И это умение - находить нестандартные решения - и есть главная ценность фундаментального образования - оно и помогает делать открытия. Но, к сожалению, остаётся оно не у всех. Все люди разные.
[/философские рассуждения]

ars200812

Программку на си напечатай :)

antill

определитель 3на3 человеку считать по оперделению или даже по предлагаемой формуле --- в любом случае фигово, проще диагонализировать по методу Гаусса, причём при диагонализации половину суммирований вообще делать не нужно, мы ж не собираемся обратный ход метода Гаусса делать. причём диагонализировать можно не обязательно вокруг диагонали, а как удобнее.
а если компу объяснять как считать определитель именно третьего порядка, то проще формулу написать
итог: нафиг, нафиг это мнемоническое правило! польза от него сомнительна, а вред очевиден.

alexandr8

ну я имел ввиду что 8 членов есть а 16 не хватает

antill

у я имел ввиду что 8 членов есть а 16 не хватает

shpanenoc

ну я имел ввиду что 8 членов есть а 16 не хватает
ага, мне растолковали уже :)

Lene81

проще диагонализировать по методу Гаусса
Дагонализовать, чтобы найти определитель? Ты головушкой не стукнулся где? Достаточно привести к верхне- или нижнетреугольному виду, например LU разложением или по Холесскому, что эквивалентно _исключению_ по Гауссу (Gauss elimination)

klen1

а разве можно диаганолизировать (я правильно помню что это значит, что не 0ли только на главной диагонали) любую матрицу? - это же не правда

shpanenoc

любую квадратную матрицу элементарными преобразованиями строк и столбцов можно привести к виду, где у нее вне главной диагонали нули.

klen1

странно, мне что то помнится что некоторые можно только к треугольному виду привести - может это как раз не квадратные?

sboris

а разве можно диаганолизировать (я правильно помню что это значит, что не 0ли только на главной диагонали) любую матрицу?
Не любую матрицу можно диагонализировать заменой координат. Здесь речь о другом - о преобразованиях, которые не меняют определитель.

klen1

а, это возможно
а то я помню что в физике какие то специальные всегда матрицы (унитарные кажется? только их можно диаганолизировать

shpanenoc

а то я помню что в физике какие то специальные всегда матрицы (унитарные кажется? только их можно диаганолизировать
Ну есть, например, операторы простой структуры - это для которых существует базис из собственных векторов.
А есть еще самосопряженные операторы - у них существует ортонормированный базис из собственных векторов. Вот, наверно, об этих операторах (и, соответственно, эрмитовых матрицах) и шла речь.
Очевидно, матрица оператора в базисе из собственных векторов (и только в нем) имеет диагональный вид.
Здесь речь о другом - о преобразованиях, которые не меняют определитель.
Ну или предсказуемо меняют (перестановка строк или столбцов определителя меняет его знак на противоположный).

Lene81

а разве можно диаганолизировать (я правильно помню что это значит, что не 0ли только на главной диагонали) любую матрицу? - это же не правда
Любую матрицу диагонализовать нельзя, но любую можно привести к верхне- или нижнетреугольной. Диагонализуемы только нормальные матрицы, для которых выполнено
[math]$$A^{*}A = A A^{*}$$[/math]

sboris

A* - это что такое, комплексно-сопряженная, что ли? Ты же не хочешь сказать, что все действительные матрицы диагонализуемы.
Upd: Сообразил, что математики звездочкой обозначают эрмитово сопряжение.

shpanenoc

Любую матрицу диагонализовать нельзя, но любую можно привести к верхне- или нижнетреугольной.
Каким способом привести? Если элементарными преобразованиями строк и столбцов, то любую матрицу A можно привести к виду
E0
00
Где E - единичная матрица порядка r, 0 - нулевая матрица, а r=rg(A)
Если переходом к другому базису - то ты тоже неправ, кажется.

0890

есть матрица. Мне тут утверждают, что ее определитель можно подсчитать следующим образом
Свин, ну ты посчитай для своей матрицы-то. Мож, действительно совпадет с классикой.
Не даром же твой пост начинается со слов "есть матрица" :)

Serg1912

IMHO, решение через матрицу в двоичной сичтеме, где
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 1 1
1 1 1 1, например.
А?

Vlad128

Диагонализуемы только нормальные матрицы, для которых выполнено
[math]$$A^{*}A = A A^{*}$$[/math]
Все смешалось, кони, люди...
Вот тебе матрица:
[math]$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &2\end{pmatrix}$$  $$A^\ast = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 &2\end{pmatrix}$$  $$A A^\ast = \begin{pmatrix} 2 & ? \\ ? &?\end{pmatrix}$$  $$A^\ast A = \begin{pmatrix} 1 & ? \\ ? &?\end{pmatrix}$$  [/math]
диагонализуема она потому что собственные значения 1 и 2, различные.
И так, по порядку.
Сначала рассматриваются элементарные преобразования строк и столбцов:
[math]$$A' = M^{-1} A N$$[/math], где матрицы M и N — можно рассматривать как матрицы перехода (типа A — оператор, причем матрица не обязательно квадратная, так что M и N могут быть разного размера) Так вот при таком независимом выборе матриц M и N можно любую вот вообще любую матрицу привести к диагональному, верхнетреугольному, трапециевидному, какому хотите виду.
Дальше рассматривают действие оператора в одном пространстве и требуют, чтобы базис, на котором он задается преобразовывался согласованно, получается преобразование подобия
[math]$$A' = T^{-1} A T$$[/math], тут всегда можно привести к верхнетрегольному виду, а к диагональному — когда матрица простой структуры (например, все сч различны).
вот такая например не будет простой структуры:
[math]$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 &1\end{pmatrix}$$[/math]
А про ортогональные матрицы — это когда от преобразования T требуют T^* T = T T^*= E, т.е. движение (сохранение скалярного произведения).
Немного сумбурно, но и того хватит, наслаждайтесь :)

antill

Дагонализовать, чтобы найти определитель? Ты головушкой не стукнулся где? Достаточно привести к верхне- или нижнетреугольному виду, например LU разложением или по Холесскому, что эквивалентно _исключению_ по Гауссу (Gauss elimination)
оговорился, имел в виду приведение к треугольному виду
а тебе за хамство минус

den81

Определитель примера лучше считать не разложением, а перестановкой строк =)

Vlad128

там же нолик

den81

Я отвечал на сообщение 'а.

Vlad128

а, ну ладно :)

Lene81

а тебе за хамство минус
Как я понимаю, других аргументов, кроме как надуть губки и щелкнуть минусик нет? Не мужик ты, а тряпка и зануда.

Lene81

Я понимаю твои аргументы, основанные на приведении к жордановой форме. Чего я тогда не могу понять, это вот этого:
http://en.wikipedia.org/wiki/Normal_matrix
Normality is a convenient test for diagonalizability: every normal matrix can be converted to a diagonal matrix by a unitary transform, and every matrix which can be made diagonal by a unitary transform is also normal, but finding the desired transform requires much more work than simply testing to see whether the matrix is normal.
Или тут важно именно отыскание унитарного преобразования, а не просто преобразования подобия [math]$T^{-1}AT$[/math]?

Vlad128

ну да, унитарного, я там в конце сообщения упомянул. В физике наверное это используется довольно часто.

Vlad128

да и в цитате это написано, которую ты привел. Просто к подсчету определителя это не имеет отношения.

Lene81

Просто к подсчету определителя это не имеет отношения.
Да это понятно

antill

Как я понимаю, других аргументов, кроме как надуть губки и щелкнуть минусик нет? Не мужик ты, а тряпка и зануда.
а какие тут могут быть аргументы? по существу-то ты прав, я лажу написал, с чем и согласился немедленно.
но за очередное хамство тебе очередной минус, конечно же ;)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: