Вопрос про конечно-аддитивные меры

trof-filipp

Верно ли что [math]sup <Q,x> = ess sup x[/math] , где [math]x[/math] - существенно -ограниченная с.в., [math]Q[/math] пробегает множество конечно-аддитивных вероятностных мер, [math]<Q,x>[/math] - интеграл от [math]x[/math] по мере [math]Q[/math] ?

griz_a

Что значит существенно-ограниченная, когда меры фиксированной нет? Или есть фиксированная мера, а интеграл берется по каким-то мерам [math]$Q$[/math]? Тогда существенная ограниченность [math]$ X$ [/math] по исходной мере ничего не говорит про новые/

trof-filipp

Действительно, вопрос требует уточнения. Уточняю. Случайная величина определена на вероятностном пространстве с мерой [math]P[/math] . Меры [math]Q[/math] абсолютно-непрерывны относительно исходной меры [math]P[/math]. [math]x[/math] -существенно-ограничена по мере [math]P[/math].

sverum

Пусть P(X > x) > 0. Тогда для вероятностной меры Q с плотностью Z = I(X > x)/P(X > x) выполнено <X,Q> = <XZ, P> >= <xZ,P> = x. Отсюда sup{<X,Q>} >= esssup X = sup{x : P(X > x) > 0}.
С другой стороны, если Q абсолютно непрерывна относительно меры P, то Q-п.н. X <= esssup X. Следовательно, sup{<X,Q>} <= esssup X.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: