Мультимножества и множества - в каких состоят отношениях?

ocean

Резюме: основные вопросы треда
В каких отношениях между собой состоят множества и мультимножества?
Является ли мультимножество множеством?
Чем, вообще, является мультимножество с точки зрения математики?
> Нигде же не оговаривается, что элементы различные.
разбиение множества

antcatt77

и?
ps
Ты хочешь намекнуть, что элементы множества должны быть различны?
Где такое постулируется?

ocean

Учебник какой-нибудь почитай, чтоли.

antcatt77

Понятие множества, или совокупности, принадлежит к числу простейших математических понятий; оно не определяется, но может быть пояснено при помощи примеров. Так, можно говорить о множестве всех книг, составляющих данную библиотеку, множестве всех точек данной линии, множестве всех решений данного уравнения. Книги данной библиотеки, точки данной линии, решения данного уравнения являются элементами соответствующего множества. Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они. Может случиться, что данным свойством не обладает вообще ни один предмет; тогда говорят, что это свойство определяет пустое множество. То, что данный предмет х есть элемент множества М, записывают так: х Î М (читают: х принадлежит множеству М).
ps
Если приведешь определение множества, которые говорит, что элементы должны быть уникальны - поставлю памятник.

antcatt77

да, даже термин мультимножество - вводится, как:
Мультимножество - это множество, которое может содержать повторяющиеся элементы.

ocean

) Про определение.
Чтобы определить множество, достаточно указать характеристическое свойство элементов, т. е. такое свойство, которым обладают все элементы этого множества и только они.
Если бы там могли быть одинаковые элементы, то характеристического свойства недостаточно.
2) Про мультимножество.
Из определения непосредственно следует, что изначально множество таким свойством не обладает,
и требуется введение на нём дополнительной структуры.

Sander

Когда речь идет о множестве и его элементах априори считается, что элементы различны, т.к. мы можем говорить:
"Вот это один элемент, а вот это другой."
Ты сам себе противоречишь:
да, даже термин мультимножество - вводится, как:
Мультимножество - это множество, которое может содержать повторяющиеся элементы.
Какраз только при введении понятия мультимножества вводится понятие об одинаковых элементах.
Если приводить другие объяснения: понятие одинаковых элементов нельзя ввести без определения отношения на элементах. Т.е. без введения дополнительных понятий каждый элемент множества в некотором смысле уникален.

Nefertyty

> Если приводить другие объяснения: понятие одинаковых элементов нельзя
> ввести без определения отношения на элементах. Т.е. без введения
> дополнительных понятий каждый элемент множество в некотором смысле
> уникален.
Если уж на то пошло, то первое, что я нашёл гуглом по слову ZFC,
вводит понятие множества одновременно с отношениями равенства и вхождения.

antcatt77

> Если там могли бы быть одинаковые элементы, то характеристического свойства недостаточно.
Множество A - содержит 4 элемента 'единица', и 2 элемента 'двойка'
Чем это не характеристическое свойство?
> Из определения непосредственно следует, что изначально множество таким свойством не обладает
Совсем не следует, т.к. данное определение выделяет подкласс множеств из всех множеств.
> что изначально множество таким свойством не обладает
и? Как из этого следует, что множества не могут иметь одиннаковые элементы?

Nefertyty

Считается, что в современной математике арифметика основана на теории множеств, соответственно понятие множество вводится, когда ещё нет понятия количества.

antcatt77

> "Вот это один элемент, а вот это другой."
так же мы можем говорить: Вот это один элемент, а вот это другой, но такой же.
> Т.е. без введения дополнительных понятий каждый элемент множества в некотором смысле уникален.
вот именно - что в некотором.
см. вышесказанную фразу.

antcatt77

Так как выглядит определение множества в современной математике?
Там есть прямое указание, что один и тот же элемент не может входит во множество несколько раз?

Nefertyty

http://mathworld.wolfram.com/Zermelo-FraenkelAxioms.html -- вроде правдоподобно
> что один и тот же элемент не может входит во множество несколько раз
постановка вопроса бессмысленна
однако смотри первую аксиому

ocean

>> Если там могли бы быть одинаковые элементы, то характеристического свойства недостаточно.
> Множество A - содержит 4 элемента 'единица', и 2 элемента 'двойка'
> Чем это не характеристическое свойство?
Что именно здесь является "свойством"?
Читай учебник дальше, короче.
>> Из определения непосредственно следует, что изначально множество таким свойством не обладает
> Совсем не следует, т.к. данное определение выделяет подкласс множеств из всех множеств.
Да, с помощью введения дополнительной структуры на некотором другом нормальном множестве.
Только из-за того, что некоторые индивидуумы строгое определение ниасилят, оно дано по-деревенски.

antcatt77

Вопрос ко всем - Мультимножество является множеством или нет?
ps
Если верны эти утверждения:
1. мультимножество - является множеством
2. мультимножество - содержит повторяющиеся элементы
то правильно я понимаю, что верны следующие выводы:?
1. некоторые множества - содержат повторяющиеся элементы
2. множества - могут содержать повторяющиеся элементы

avgustinka

> Вопрос ко всем - Мультимножество является множеством или нет?
нет

Sander

Мысль твоя понятна.
Но все же тогда скажи:
Зачем нужно понятие мультимножества, если множество итак может содержать повторяющиеся элементы?
На самом деле то, что ты цитируешь есть не совсем удачно сформулированная мысль автора, писавшего книгу.
Мультимножество есть "надстройка" над понятием множества. Множество, которое помимо уже имеющихся свойств может еще и содержать повторяющиеся элементы.
Более формально этот переход можно представит так:
"Рассмотрим множество элементов, для которых введем отношение равенства и некоторые его элементы будем считать одинаковыми (повторяющимися)".
Таким образом чисто гипотетически(на уровне множества) все элементы различны, но реально(на уровне мультимножества) мы считаем, что некоторые из них совпадают.

Nefertyty

тоже не совсем верно, как я понимаю
так как ничего, кроме множеств в математике, если рассматривать её в таком плане, нет

ocean

> Вопрос ко всем - Мультимножество является множеством или нет?
Нет.
Но допустима абстрактная интерпретация мультимножества как множества,
т.е. функтор, который отобразит мультимножество и операции над ним
во множество с соответствующим набором операций.

antcatt77

Как минимум еще конечно, надо показать, что "множество, как интуитивный термин, применяемый в ТЗ" и "ZFC-set" - являются эквивалентными понятиями.

avgustinka

Плохо...
Я бы ввёл это дело так:
Мультимножество -- это множество пар вида (a,n где
a -- элемент какого-то другого множества, а
n -- (кардинальное) число

Sander

Т.Е.
Мультимножество = Множество + Операция отношения.
Т.Е. в каком-то смысле мультимножество есть множество, а в каком-то смысле это не множество.

ocean

> ничего, кроме множеств в математике, если рассматривать её в таком плане, нет
Ещё есть операции над ними.

Sander

что есть "кардинальное число" ?
А какая разница. Суть одна и таже.
Только при твоей модели операция отношения заложена в самой конструкции элемента.

Nefertyty

А это надо уточнить.
В компьютере всё равно невозможно по-нормальному представлять множества, с которыми работают математики.
Да и с операцией сравнения могут быть проблемы.

avgustinka

ну блин...

antcatt77

> Зачем нужно понятие мультимножества, если множество итак может содержать повторяющиеся элементы?
Для того, чтобы уточнить термин, и более точно очертить рассматриваемый круг проблем.

Nefertyty

Тут имхо правильнее поставить вопрос о применимости слова "являться" в таком рассуждении.

avgustinka

Согласен. Хотел выпендриться -- не получилось. =)
ну в общем, да.
мультимножество -- это множество с разбиением на классы эквивалентности.

Sander

Совсем форамльно:
Множество = { a, b, c, d, ...}
Мультимножество = { A, B, C , ... }
где A --- множество некоторых элементов. Пусть A = { a, b, c, d, ...}.
остальные множества B, C , D ... есть классы эквивалентности элементов из A.
Т.е множества B, C, есть подмножества A. При этом пересечение классов пусто.

Sander

Тогда переформулирую вопрос: в чем различие между множеством и мультимножеством в твоем понимании?

avgustinka

При этом пересечение классов пусто.
это входит в понятие "класс эквивалентности"

Sander

да. просто хотелось дать модель чисто на языке множеств без использования других понятий, т.к. их "нет"

avgustinka

это не вопрос.

antcatt77

например так:
мультимножества - это множества, которые могут содержать дубликаты
множества - это мультимножества + множества, которые не могут содержать дубликаты

Nefertyty

Какие операции?
Хотя я неправ скорее всего, ну что ж поделать, не обучен этим делам

ocean

> Если верны эти утверждения:
> 1. мультимножество - является множеством
> 2. мультимножество - содержит повторяющиеся элементы
> то правильно я понимаю, что верны следующие выводы:?
Утверждения 1 и 2 могут быть верны при различных интерпретациях
одной и той же структуры, объединять их вместе нельзя.
Следствием может являться, например, утверждение о том,
что на множестве можно ввести нечто, с помощью чего можно
доопределить нужные свойства.

ocean

> множества - это мультимножества + множества, которые не могут содержать дубликаты
Т.е. на множестве изначально вводятся две различные структуры?

Sander

чего то меня клинит.
итак, попытаемся проанализировать изложенные рассуждения посредством теории множеств:
У нас есть объекты: множества.
Множество ЭТИХ объектов объектов обозначим A.
Есть свойство: "Множество содержит повторяющиеся элементы". -- свойство alpha
Множество объектов, удовлетворяющих ЭТОМУ свойству обозначим B.
Если мы говорим "множесво не содержит повторяющихся элементов", то говорим об объектах не удовлетворяющих свойству alpha. Т.е. A\B.
Если мы говорим "множество может содержать повторяющиеся элементы", то мы говорим об объектах, которые могут удовлетворять свойству alpha, а могут и не удовлетворять. Т. е. это все множество A.
1. мультимножества - это множества, которые могут содержать дубликаты
2. множества - это мультимножества + множества, которые не могут содержать дубликаты
Так вот. получается, что
1 = A
2 = A+(A/B)=A
То есть в твоих терминах понятия множества и мультимножества совпадают.

antcatt77

> Есть свойство: "Множество содержит повторяющиеся элементы". -- свойство alpha
Скорее есть два свойства:
1. Множество содержит повторяющиеся элементы
2. Множество потенциально может содержать повторяющие элементы, в результате операций, действий нами рассматриваемых.
Мультимножества - это множества, которые обладают вторым свойством.
> Если мы говорим "множество может содержать повторяющиеся элементы", то мы говорим об объектах, которые могут удовлетворять свойству alpha, а могут и не удовлетворять. Т. е. это все множество A.
Слабый вывод. Он рассматривает ситуацию только здесь и сейчас, т.е. он не рассматривает слово "потенциально".

ocean

Определи операции объединения, пересечения и разности для множеств и мультимножеств.

Sander

тогда, пожалуйста, сформулируй понятие "потенциально" в математических терминах.
иначе непонятно что это значит. Например в терминах теории множеств, раз уж о ней идет речь.
просто изначально в теории множеств не предполагается никакой потенциальности. Вроде как она сама по себе статична, как и вся математика.

antcatt77

> То есть в твоих терминах понятия множества и мультимножества совпадают.
При использовании термина "мультимножество" - мы явно оговариваем, что множество потенциально может содержать повторяющиеся элементы.
При использовании термина "множество" - наличие дубликатов не оговаривается, соответственно, данный термин каждый может понимать в меру своей испорченности, или другими словами - трактовка термина может меняться от ситуации к ситуации.

Sander

нет уж. это какой-то разговор "за жизнь" пошел. Я "пас" в таком ключе вести беседу.
Нет в математике разной трактовки одних и тех же терминов. Математика едина.

antcatt77

> Нет в математике разной трактовки одних и тех же терминов. Математика едина.
не совсем.
Возьмем, например, операции объединение, пересечение и т.д. - термины для этих операций используется одни и те же, но определение этих операций зависит от контекста.

Sander

примеры в студию.

antcatt77

> тогда, пожалуйста, сформулируй понятие "потенциально" в математических терминах.
Не умею. Я практик, а не математик.
Могу попробовать показать на пальцах.
Допустим у нас есть кольцо: элементы + операции над ними.
Есть свойство, которое присуще элементам этого кольца, но при этом не все элементы этого кольца обладают данным свойством.
При этом можно говорить, что все элементы данного кольца потенциально обладают данным свойством.
Зачем это надо?
Это необходимо при разборе операций.
Допустим у нас есть выражение:
3 / 2
результат этого выражения будет разным, в зависимости, от потенциальности операции деления.
Если данная операция потенциально возвращает дробные числа, хотя и элементы на входе целые,
то результат будет 1.5,
если же операция даже потенциально не допускает дробных чисел,
то результат будет 1.
Тоже самое и с множествами.
Если операция объединения потенциально может выдать мультимножество, то результат выражения:
{1, 2} \/ {1, 3} будет {1, 2, 1, 3}
Если же операция "чистая" (операция на выход выдает тот же тип, что и на входе
то результат будет {1, 2, 3}

antcatt77

> примеры в студию.
{1, 2} \/ {1, 3} = {1, 2, 3}
{1, 2} \/ {1, 3} = {1, 2, 1, 3}
Результат меняется, в зависимости от контекста, в зависимости от того, чем мы решили считать данные множества.

avgustinka

Либо ты так утончённо стебёшься, либо убивай этот тред нафиг.
Честное слово.

sfmike

>{1, 2} \/ {1, 3} = {1, 2, 1, 3}
Ахуеть. Ты очевидно не с мехмата? Эх и вставили бы тебе на логике за такие "идейки".

Galina76

трет весь ниасилил, но так понял, что требуется написать всево лишь Цэ из 3*k по 2*k

sfmike

Ага. Или по k, что в общем-то одно и то же

Nefertyty

> Ты очевидно не с мехмата?
> Эх и вставили бы тебе на логике за такие "идейки".
А тебя, очевидно, учили логике методом анального пенетрирования?

sfmike

Нет. Я к своему стыду появился лишь на экзамене, так что меня миновала сия участь

Nefertyty

> Я к своему стыду появился лишь на экзамене
только один раз?
> так что меня миновала сия участь
маза это была не логика!

sfmike

>только один раз?
Да. Я тогда еще был ботаном, хотя и не ходил на пары
>маза это была не логика!
Логика. Я ее даже на 5 сдал

Nefertyty

Ну и чё там в книжках было написано, натуральные числа - это множества или как?

sfmike

Ну и вопрос... Именно множества? Такого точно не было написано.

Sander

не смотря на эти замечательные заслуги сейчас ты выставляешь себя полным кретином разговаривая таким образом с людьми.
2
Конечно, то что ты написал, в большенстве случаев, вызовет у математиков недоумение. (Как у меня например).
Но с другой стороны в написанном есть и логика и здравый смысл. По этому довольно сложно написать аргументированный ответ, и часть людей в силу своей невежественности сразу спешит перейти на личности. Не стоит на них обращать внимание.
Так что мой ответ таков: с точки зрения классической математики (по крайней мере той, которая преподается на мехмате) никаких вариантов быть не может и верен лишь вариант 1. Также в математике нет понятия "потенциально".
Математическая логика не предполагает третьего состояния, помимо двух: "Утверждение истинно", "Утверждение ложно".
Но если не рассматривать математику как уже что-то состоявшееся и пытаться "пофилософствовать" на тему этих понятий, то наверняка можно придумать что-то в таком роде. Может быть получится вполне разумная и красивая теория (с элементами трехзначной логики (истина, ложь, "потенциально" истина но это уже совсем другая история.

Nefertyty

> Математическая логика не предполагает третьего состояния, помимо двух:
> "Утверждение истинно", "Утверждение ложно".
А как там с невыводимостью?

Nefertyty

> Именно множества? Такого точно не было написано.
А что там было написано про введение натуральных чисел?
Грубо говоря, на чём основано утверждения о существовании такого объекта, как множество N?

sfmike

Я уже точно не помню. Вроде были какие-то замуты с аксиомами натурального ряда(Пеано? не помню уже ).

Sander

С какой невыводимостью, можно подробнее. Не могу понять, при чем здесь выводимость.

Sander

Дошло.
Я писал про логику предикатов. В логике предикатов действительно третьего не дано.
Что касается невыводимости... да, пожалуй есть такое дело. Но по крайней мере понятия <<"потенциально" истина>> точно нет.

antcatt77

to _vj, ПЖ, :
Я правильно понял, что вы уже дошли того, что мультимножества, вообще, объявили лженаукой и не частью математики?
ps
Спор, вообще-то, был - в каких отношениях между собой состоят мультимножества и множества, а не о том - мультимножества - это часть математики или нет.

sfmike

{1,2,1,3} - это лженаука.
наука - { {key1, 1}, {key2, 2}, {key3, 1}, {key4, 3} }
В общем насколько я понимаю на мультимножеcтве есть некая структура.

Sander

нет.
я же уже писал, что я думаю по поводу мультимножеств:
это "надстройка" над понятием множества.
и приводил формальную модель, типа:
мультимножество есть множество с введенным отношением эквивалентности.
а лженаукой и не частью математики являются рассуждения про "потенциальную справедливость свойства"

antcatt77

> это "надстройка" над понятием множества.
и? если это надстройка, то как тогда надо записать правильно следующую запись?:
{1, 2} \/ {1, 3} = {1, 2, 1, 3}

sfmike

Никак. Это неверно.

Sander

примерно так, как сказал ПЖ.
можно так:
{1_v1 , 2_v1}\/{1_v2 , 3_v2}={1_v1 , 2_v1 , 1_v2 , 3_v2}
при этом добавить информацию о том, что {1_v1 , 1_v2} --- множество эквивалентных элементов.

antcatt77

Тогда не совсем понятно, что делать в следующей ситуации:
у меня на входе есть два множества:
{1, 2}
{1, 3}
что мне надо сделать, чтобы из них получить множества:?
{1_v1 , 2_v1}
{1_v2 , 3_v2}
Также, что в этом случае у меня будет, если я пересеку:?
множество
{1_v1 , 2_v1 , 1_v2 , 3_v2}
c множеством:
{1, 3}

Sander

каждое новое множество помечаешь следующей меткой _vN.
Т.О. каждый раз у тебя добавляются новые элементы.
с точки зрения программирования и, например multiset в STL-e
у тебя у каждого элемента есть свой уникальный id, и есть его значение ---
т.е. я все-таки немного налажал и боле логичо будет писать
{1_k1 , 2_k2}V{1_k3 , 3_k4}= {1_k1 , 2_k2 , 1_k3 , 3_k4}
Т.е. что бы провести операцию над мультимножествами сначала мы должны присвоить каждому элементу уникальный идентефикатор так, что бы идентефикаторы у этих элементов не пересекались.
Тогда вместо {1,3} нужно взять {1_k5,3_k6}, но пересечение будет пусто
// Хм... весело получается. Че-то я запутался.
А как в том-же STL реализовано?

antcatt77

> А как в том-же STL реализовано?
если на пальцах, то так:
объединение - простое слияние двух массивов
пересечение:

List<Item> result = new List<Item>
foreach (Item item in firstItems)
{
if (secondItems.Contains(item
{
result.Add(item);
secondItems.Remove(item);
}
}
return result;

sfmike

Вот, определение мультимножества(возможно с ошибками).
Определим упорядоченную пару (a,b) как { { 1, { a } }, { 2, { b } } }
Тогда легко определить (a,b)[1] := {x| x in (a,b) && 1 in x }
(a,b)[2] := {x| x in (a,b) && 2 in x }
Назовем мультимножеством A = [ a, b, ... ] множество A' = { ( n1, a ( n2, b ... }, причем для любых x, y in A: x[2] != y[2]
Операции:
ex - существует
Пусть A = [ i1, i2, .. ], B = [ j1, j2, ... ]
1) А + B = {x| x - пара, для которой выполняются одно из условий a) - c) }
a) ex y in A: (x[2] == y[2] && x[1] == y[1]) && not ex z in B: x[2] == z[2]
b) ex z in B: (x[2] == z[2] && x[1] == z[1]) && not ex y in A: x[2] == y[2]
c) ex y in A: x[2] == y[2] && ex z in B: x[2] == z[2] && x[1] == y[1] + z[1]
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: