Разложить многочлен на множители

forester_200

Предполагается, что задачу может решить абитуриент МГУ факультета нетехнического профиля.
Многочлен: [math]$t^4-3t^3-2t^2-3t+1$[/math]
Разложение [math]$(t^2+t+1t^2-4t+1)$[/math]
Первый множитель неприводим над R, у второго корни нетривиальные: [math]$2\pm\sqrt 3$[/math]
Чистое любопытство: каким способом обычный школьник (даже продвинутый) может догадаться до такого разложения?

forester_200

Вариант:
Разбиваем многочлен в произведение двух квадратных с 4-мя (в сумме) неопределёнными коэффициентами, раскрываем скобки, получаем систему 4 довольно-таки неприятных уравнений с 4-мя неизвестными и решаем её.
Но:
1.Способ очень неприятный.
2. Не факт, что школьник знает факты о приводимости над R и пр. или же просто догадается разбить именно на 2 квадратных трёхчлена.
Нужен понятный "школьный" алгоритм :confused:

griz_a

(t^2+at+bt^2+ct+d)=t^4+(a+c)t^3+(b+d+ac)t^2+(ad+bc)t+bd
a+c=-3
b+d+ac=-2
ad+bc=-3
bd=1
Если искать целые, a,b,c,d, то из последнего b=d=1 или b=d=-1
b=d=-1 не подходит из-за ad+bc=a+c.
ac=-4
a+c=-3
a=-4
c=1
Или a=1 c=-4
Имеем требуемое разложение. Но догадаться до этого, ИМХО, не очень просто

roman1606

Думаю, продвинутый школьник, не увидев хороших корней, мог бы догадаться, что разложение, вероятно, будет выглядеть так:
[math]$(t^2+At+1t^2+Bt+1)$[/math] или [math]$(t^2+At-1t^2+Bt-1)$[/math].
Хотя догадаться школьнику, конечно, еще надо.

a7137928

Странная задача, действительно. Может быть, есть какой-то простой способ, но я его не вижу.
Судя по ответу, можно запреобразовывать в
[math]$(t^2-\frac32t+1)^2 - (\frac52t)^2$[/math],
но это тоже ни фига не просто.

a7137928

Хотя догадаться школьнику, конечно, еще надо.
Если бы задача была для мехмата или ВМК, то было бы нормально. Нас в мат. классе учили чему-то похожему. Но для других факультетов это странновато.

Shini

Многочлен симметричный -> сл делаем замену z=t+1/t, получим t^2*(z^2-2-3z-2 далее разлагаем квадратный многочлен. Вроде бы этому учили в школе.

a7137928

Вроде бы этому учили в школе.
А ведь ты прав, было дело.

vvasilevskiy

Многочлен симметричный -> сл делаем замену z=t+1/t, получим t^2*(z^2-2-3z-2 далее разлагаем квадратный многочлен. Вроде бы этому учили в школе.
Не понял, в чем он симметричный?
В какой школе и когда такому учили?

griz_a

Его в 17, меня в 146 школе. города Перми :)
Идея в том, что если многочлен выдерживает замену P(x)=x^nP(1/x то имеет смысл посмотреть на t+1/t. В школе обычно дают практическую часть, а реально это связано с тем, что если поделить на t^2, то получится симметрический многочлен от t, 1/t, а значит он разложим как многочлен от t+1/t и t*1/t=1

demiurg

Нет, там со знаками косяк.
У меня получилось таким образом
[math]$(t-1/t)^2-3(t+1/t)$, ну и все на $t^2$ умножить конечно[/math]
Если бы знак при 2ке или одной из 3ек другой был бы, то вышло бы.

vvasilevskiy

Понял, спасибо :) -сам бы в школе до такого не додумался на экзамене (точнее если бы эта олимпиада была, то наверное додумался, просто предположить что это заданее не с вступительных на мехмат никак не укладывается)
В школе только Безу и бином Ньютона знал-сейчас и того меньше думаю(Безу уже забыл ибо в моей работе не применяется)-разве что с комплексными числами теперь на ты общаюсь
Надо было идти в спецшколу, а я дурак еще гордился, что обычную закончил :)
Короче-ЖЕСТЬ! а не задание

demiurg

Не, этот трюк много где рассказывают, видишь, он мне даже сейчас пришёл в голову. Поэтому для вступительных экзаменов это нормально. Только он не работает тут, если я не ошибся.

leniy1401

работает. наверно ошибся.
2 ki: это не жесть. нормальная несложная задача

demiurg

А, ну да

lenmas

[math]  $$  (t+1/t)^2-3(t+1/t)-4  $$  [/math]

griz_a

Не очень понимаю, как он может не работать на многочлене такой степени :)

toxin

Ну и еще один способ - раз многочлен симметричный, то значит если t - корень, то и 1/t - корень. Произведение корней - единица, поэтому множители будут иметь вид [math]$x^2+Ax+1$[/math]. Остается решить квадратное уравнение, для их нахождения. В общем случае метод равносилен разложению по степеням x+1/x.

forester_200

Многочлен симметричный -> сл делаем замену z=t+1/t, получим t^2*(z^2-2-3z-2 далее разлагаем квадратный многочлен. Вроде бы этому учили в школе.
Да, приём с заменой достаточно известный, но, скорее, всё-таки выпускникам физ.-мат. классов и т.п.
Задача же, сводящаяся к обсуждаемой, взята из вступительных на химфак и ФНМ МГУ, 2000 г., №6 (малость проврался, когда сказал в 1-ом посте о "нетехническом профиле"). Вероятно, номер задачи указывает на необходимость владения абитуриентом не очень стандартными приёмами :confused:
Думаю, обсуждение можно закрыть.
Всем большое спасибо! ;)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: