Задача по теории вероятностей

rerjktdf

А - событие которое происходит с вероятностью р=0.45 в n=700 опытам
Определить вероятность того что событие А произойдет в меньшинстве опытов.
Меньшинство я принял интервалом от 0 до 349.
Но при этом пришел к решению Ф(2,583)+Ф(23,929 а Ф(23,929) - в таблице не существует значения.
Где ошибся?
Спасибо

griz_a

Ф(2,583)+Ф(23,929

Что это? :shocked:
Это же больше 1 :)

MammonoK

это у него ф(-23)=-ф(23) почему-то =)

rerjktdf

функция лапласа - нечетная по-моему, вот я и вынес минус.

griz_a

причем тут функция лапласа? :confused:
Нечетных функции распределения не бывает, они неотрицательные и на бесконечности 1

griz_a

Вообще положено так:
T - число успехов.
[math]$\frac{(T-np)}{\sqrt{np(1-p)}} \rightarrow N(0,1)$[/math]
[math]$P(\frac{T-np}{\sqrt{np(1-p)}}<=x)=\Phi(x)$[/math]
[math]$P(T<=np+x(\sqrt{np(1-p)})=\Phi(x)$[/math]
[math]$P(T<=y)=\Phiy-np)/(\sqrt{np(1-p)})$[/math]
P(T<=349)=Ф(2,58)

griz_a

Ф(-253) можно не вычитать, это число гораздо меньше погрешности нормальной замены, которая дает нам ошибку на несколько тысячных, если я правильно прикинул.
А Ф(253) это гораздо меньше тысячной

3deus

А - событие которое происходит с вероятностью р=0.45 в n=700 опытам
Определить вероятность того что событие А произойдет в меньшинстве опытов.
Пусть [math][res=130]{\begin{equation*} \xi_1, ..., \xi_n \end{equation*}} [/math] - независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значение 1 с вер. p=0,45 и
0 с вер. 1-p; m= 349.
Требуется найти [math][res=130]{\begin{equation*} z_m=P\{\xi_1+...+\xi_n \leqslant m\} = \end{equation*}} [/math]
[math][res=130]{\begin{equation*} \sum_{k=0}^{m}P\{\xi_1+...+\xi_n = k\}= \end{equation*}} [/math]
[math][res=130]{\begin{equation*}=\sum_{k=0}^{m} C_n^k  p^k(1-p)^{n-k} \end{equation*}} [/math].
Искомое [math][res=150]{\begin{equation*}z_{349} = 0.995545 \end{equation*}} [/math]
-вычислил в Mathematica 5.0.
Для сранения:
m ------------- z_m
280 --------- 0.0042633
300 --------- 0.135248
310 --------- 0.366655
320 --------- 0.662341
330 --------- 0.880434
340 --------- 0.973474
378 --------- 0.999999
Интересно, почему такой взрывной рост вероятности [math][res=130]{\begin{equation*} z_m \end{equation*}} [/math] именно в окрестности np ? почему основная часть суммы [math][res=130]{\begin{equation*}\sum_{k=0}^{n} C_n^k  p^k(1-p)^{n-k} \end{equation*}} [/math]
- это небольшая окрестность pn - ого члены суммы, в нашем случае 0.45*700 = 315 -ого ?

griz_a

? Ты всерьез или шутишь?
Потому что центральная предельная теорема :)
дисперсия у выборочного среднего очень маленькая, там р(1-p) на n делится

3deus

Ты всерьез или шутишь?
Пытаюсь вспомнить теорию вероятности :) .
выборочное среднее - это что ? среднее арифметическое наших n случайных величин, дисперсия среднего арифметического равна p(1-p)/n.
- исправил. Я.

3deus

Вторая формула не равенство, а предел при n-> бесконечности (интегральная теорема Муавра Лапласа если Ф(x) - функция распределения N(0,1). Разве нет ? :)

vc_orlov

последовтельность ф.р. слабо сходится к тривиальному расределению,которое разрывно в одной точке - p , в этой точке нет нет поточечной сходимости,поэтому и скачок есть.Кстати,посчитайте кто-нибудь пожалуйста к чему она примерно сходится в данной точке - интерестно очень(при данных условиях).

vc_orlov

Там что получается не разрывная справа функция ?

3deus

P(T<=349)=Ф(2,58)
P(T<=349) = 0, 995545
Ф(x=2.58) = (1+Erf[x/Sqrt[2]])/2 = 0,99506 (считал в Mathematica 5.0) .

mtk79

Ф(23,929) - в таблице не существует значения.
Не стоит доверять таблицам из учебников по ТВ.
Есть такая вещь, называется "асимптотическое разложение функции Лапласа" (здесь — тот ее вариант, что Ф(0)=0, Ф(\infty)=1):
[math]  $$  \Phi(x) \simeq  1-\frac{\exp{(-x^2)}}{\sqrt{\pi} x} \quad  |x|>1$$ [/math]
причем, чем больше аргумент — тем точнее формула. Уже после х=4.5 погрешность меньше, чем в учебниках.
Поэтому Ф(23.929 равно как и Ф(24) — это 1-оооооооооооооооооооооочень малое число

griz_a

Ты вообще о какой последовательности функций распределения?

griz_a

Предел, конечно, но чтобы не считать длинную сумму, заменяют ее нормальным распределением. На грубом уровне просто, считая нормальное приближение "довольно точным" при 700 наблюдениях.
А вообще погрешность приближения нормальной ф.р. можно оценить сверху
[math][res=200]$\frac{CE(|x|^3)}{nDx)^(1/2}<\frac{3*0,45}{700*0,5}<0,007$[/math]

griz_a

среднее арифметическое наших n случайных величин, дисперсия среднего арифметического равна p(1-p).
Неа
[math][res=150]$D(\frac{S_n}{n})=\frac{DS_n}{n^2}=nDX_1/n^2=DX_1/n$[/math]

3deus

Ой, перепутал :o

3deus

Интересно, откуда эта оценка: 0,007 ?
Мне удалось лишь оценить сверху числом 0,038366 по теореме Берри-Эссеенена:
[math][res=130]{\begin{equation*} |F (x) - \Phi (x)|  \leqslant \frac{p^2+(1-p)^2}{\sqrt{np(1-p)}}  \end{equation*}}[/math], где
[math][res=130]{\begin{equation*} F (x) = P\{\frac{\xi_1+...+\xi_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leqslant x\}  \end{equation*}}[/math].
Повторяя ваши рассуждения, пишем
 [math][res=130]{\begin{equation*} z_m=P\{\xi_1+...+\xi_n \leqslant m\} = \end{equation*}}[/math]
 [math][res=130]{\begin{equation*} =P\{ \frac{\xi_1+...+\xi_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \leqslant x\}  \end{equation*}}[/math], где [math][res=130]{\begin{equation*} x= \frac{m-np}{\sqrt{np(1-p)}} \end{equation*}}[/math],
поэтому по теореме Берри-Эссеена
 [math][res=130]{\begin{equation*} |z_{349}-\Phi(x=2,5831)| \leqslant 0.505/13,1624 = 0,038366 \end{equation*}}[/math] .
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: