Вопрос о плотности вероятности

young072

Вот если есть две независимы случайные величины x и y с плотностью вероятности fx, fy. Тогда плотность вероятности случайной величины x+y или x*y можно выразить через fx и fy. (Тут мне помог гугл).
Вот интересно узнать,
1) для каких комбинации x и y можно выразить плотность вероятности этой комбинации через fx и fy кроме простых линейных комбинаций x, y и x*y?
2) можно ли так сказать обратить плотность вероятности? Скажем известно что плотность вероятности выражается fz = 1/2(fx+fy) можно ли узнать какая комбинация x и y будет давать такую fz?
Прошу тапками не махаться, мои познания в теории вероятности довольно ограниченны но страшно хочется узнать ответ.

stm7543347

1) для каких комбинации x и y можно выразить плотность вероятности этой комбинации через fx и fy кроме простых линейных комбинаций x, y и x*y?
Выразить - как? В квадратурах? Через свертку? Нет такой комбинации, которую нельзя было бы выразить, вопрос лишь в том, на что ты готов пойти ради этого. :mafia:
Скажем известно что плотность вероятности выражается fz = fx+fy
В военное время значение вероятности может достигать двух. :umnik: :knight:

shpanenoc

Обратить - в общем случае нельзя. Представь себе, что тебе дана некая плотность распределения f_Z величины Z = X + Y
Тогда эти два варианта неразличимы (а с ними и сонмище других):
1) X - тождественный ноль, а Y имеет ту же плотность распределения f_Y = f_Z
2) Y - тождественный ноль, а X имеет ту же плотность распределения f_X = f_Z

young072

В военное время значение вероятности может достигать двух.

Не, ну понятно что нужно нормализовать. Из поста DizziDen-a стало понятно, что плотность распределения (в принципе любой) комбинации независимых случайных величин можно выразить через плотности распределения этих величин. Спасибо.
Обратить - в общем случае нельзя. Представь себе, что тебе дана некая плотность распределения f_Z величины Z = X + Y

А можно ли обратить с точностью до какого-нибудь вырожденного распределения типа того что ты привел?

vtdom79

)
Сразу придумал 2 случая.
a) x и y - одни и те же случайные величины, например, равномерно распределенные на [0,1]. Тогда fx=fy => fz=1/2(fx+fy) =fx=fy , т.е. z - равномерно распределена на [0,1]
б) x - равномерно распределена на [0,1/2], y - равномерно распределена на [1/2,1]. тогда fz=1/2(fx+fy) - плотность распределения величины, равномерно распределенной на [0,1]
Эти два примера показывают, что z - одна и та же, fz=1/2(fx+fy) в обоих случаях, однако x и y разные.
Можно поступить по-другому, чтобы тебя убедить. Возьми произвольную случайную величину z, построй для нее плотность fz. Пусть fz будет непрерывна. Возьми произвольную плотность распределения fx, такую, что fx<=2fz и fx непрерывна. Тогда функция fy=2fz-fx будет плотностью вероятности (так как fy>=0, fy - непрерывна как линейная комбинация непрерывных, следовательно, существует интеграл I(fy)=I(2fz-fx)=2-1=1, т.е. fy- плотность вероятности а значит, задавать некоторую случайную величину Т.е. получается, что для любой случайной ввеличины z можно подобрать бесконечно много случайных величин x и y, что fz=1/2(fx+fy)

young072

Спасибо всем за обсуждение!
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: