[MM]Напомните плиз решение задачки по матану со 2го курса

vorkachev

Что не существует самого медленно сходящегося ряда.
То есть, что для любого сх-ся ряда a_n > 0 существует b_n ->infinity, что ряд a_n*b_n сходится.
Спасибо.

Sanych

Пусть N(k) такое число, что остаток ряда, начинающийся с a(N(k меньше чем 2 в степени (-k).
И пусть для упрощения обозначений мы каждый раз берем N(k+1)>N(k)
Тогда можно брать b(j)=k на промежутке N(k)<=j <N(k+1)
Легко показать, что тогда частичные суммы получающегося ряда a(k)b(k) ограничены, так как на промежутках N(k)<=j<N(k+1) получаем не более чем по k 2^{-k}, а это сходящийся ряд.

stm5345716

Можно взять b_n=1/\sqrt{r_n}, где r_n=a_n+a_{n+1}+a_{n+2}+... --- остаток ряда. Тогда a_n*b_n<=2(1/b_n-1/b_{n+1}).

soldatiki

Без всяких там выкладок: множество сходящихся радов (как последовательностей коэффициентов) открыто в топологии R^inf, то есть каждый коэффициент можно немного пошевилить, чтобы ряд продолжал сходиться. Пошевилим так, чтобы каждый новый коэффициент стал строго больше по модулю, чем стрый.

Lokomotiv59

Неубедительно звучит. Открытость - эквивалента условию задачи по сути
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: