Задачка по действительному анализу

Ksilol

Дано пространство измеримых функций. Можно ли на нем задать такую метрику p, что для fn из этого пространства, таких что fn -> f почти всюду, верно p(fn,f) -> 0?
Будем невыразимо признательны, если кто решит и пришлет решение в личку:).

lenmas

Возьми метрику
[math]  $$  \rho(f,g)=\int\limits_X\frac{|f(x)-g(x)|}{1+|f(x)-g(x)|}\,\mu(dx  $$  [/math]
и будет тебе счастье по теореме Лебега.

lena1978

что такое пространство измеримых функции? это множество самих функций или классов эквивалентности по отношению равенства п.в.?

Ksilol

имеются в виду сами функции)

lena1978

возьми сходящуюся п.в. последовательность. ее пределом будет множество функции различных на множестве меры нуль. при сходимости по метрике толька одна функция может быть предельной. так что нельзя.

vitamin8808

сходимость почти всюду неметризуема.

a7137928

Эта штука не сходимость ли по мере метризует?

lenmas

Да, но в вопросе импликация только в одну сторону :)

griz_a

Если они почти всюду сходятся, то и по мере тоже :)

lenmas

На конечной мере да :)

griz_a

Так и думал, что кто-нибудь по этому поводу выступит :)

Delfin

Все-таки имелось ввиду пространство классов эквивалентности по отношению равенства п.в.
Как доказать, что сходимость почти всюду неметризуема? Заюзать теорему Рисса..

assasin

Более того, сходимость почти всюду нельзя задать никакой топологией. Такая вот сходимость.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: