[функан] Есть D(R) - про-во финитных ф-й.

Marina32

Док-ть, 1.Что на нем нельзя ввести метрику, задающую сходимость.
2. Что оно всюду плотно в про-ве S(R) - про-во бескю диф. ф-й с кон. полунормами.
Подсобите, плз, хотя бы с первой.

soldatiki

Есть общий факт о том, что для метризации необходимо и достаточно, чтобы топология задавалась не более чем счётным семейством полунорм. Для D это не так.
Есть явное представление полунорм на D. Они характеризуются двумя числами n, k и некоторой функцией a(x). Полунорма равна супремуму по отрезку [-n,n] от модуля k-ой производной пробной функции, умноженной на эту самую a(x). Ясно, что одних только функций a(x порождающих несравнимые полунормы, -- континуум.
Можно по-другому. В метрическом пространстве любая точка замыкания для множества M является пределом некоторой последовательности из M. В D это не так.
Можно привести пример двойной последовательности {f_n_k}, которая сходится к нулю в D, но не содержит в себе сходящуюся ("одинарную") подпоследовательность g_n (пример О.Г.Смолянова).
Делается так: график функции f_n_k -- это "две шапочки". Первая расположена в нуле и имеет высоту 1/n, вторая -- расположена над точкой n и имеет высоту 1/k. Когда n и k одновременно стремятся к бесконечности, первая шапочка уменьшается, вторая -- ползёт вправо по оси R, но тоже уменьшается. Можно показать, что в этом случае ноль -- предельная точка.
Далее, если только n стремить к беск-ти, то первая шапочка уменьшается, а вторая просто едет вправо. Сходимости нет. То же самое, если k стремить к беск-ти. Вторая шапочка стоит на месте и уменьшается, но первая не уменьшается. Тоже нет сходимости.

vit-makovey

Насчет первой части.
Если посл финитных функций сходится к данной, значит существует отрезок, вне которого они все равны нулю . Это необходимое условие, по крайней мере у нас в курсе функана точно так было.
Делее - предположим есть метрика, задающая сходимость.
Постороим следущую посл. ненулевых функций : 1 ) Носители у них расположены на отрезках вида [ n,n+1]
Это условие гарантирует по определению что они не сходятся к нулю. Ибо нет общего отрезка, вне которого они равны нулю.
Теперь воспользуемся тем фактом что, якобы есть метрика, задающая сходимость. Для каждого отрезка вида [ n,n+1] выберем функцию с носителем в этом отрезке, что расстояние в нашей метрике от нее до нуля меньше чем 1/n. Это возможно сделать, поскольку на таком отрезке можно выбрать посл функций, сходящуюся к нулю по определению. Достаточно взять гладкую " шапочку " и делить ее на С, увеличивая С. По определению сходимости в D(R) эта посл стремится к нулю.
Тем самым если есть метрика, то получаем посл функций, сходящуюся по метрике к нулю, но с неограниченными каким-то отрезком носителями, то есть НЕ сходящуюся к нулю. Противоречие.

soldatiki

Со вторым -- просто.
Любую функцию из S можно приблизить последовательностью из D.
Просто умножаем нашу f из S на сглаженные индикаторы g_n отрезков [-n,n].
Легко показать, что f*g_n стремится к f по любой полунорме из S.
Кстати: S метризуемо. Его топология может быть задана счётным семейством полунорм.

Marina32

сглаженные индикаторы g_n отрезков [-n,n].
а что такое сглаженный индикатор?

vit-makovey

Я думаю имеется ввиду гладкая функция, которая равна 1 на отрезке [-n,n] , равна нулю вне отрезка [ -n-1, n+1 ] и принимает значения от нуля до единицы.

Marina32

это которая на шляпу похожа ?

vit-makovey

Да
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: