простой вопрос по интегралу

igor196505

Добрый день!
Необходимо вычислить интеграл от функции sqrt(x) / (sqrt(x) - 4) на отрезке [1,16]. Это несобственный интеграл второго рода, вроде как несходящийся, первообразная содержит слагаемое ln|sqrt(x)-4|, которое стремится к минус бесконечности при х->16-0, а остальные слагаемые ограничены.
Хотелось бы уточнить, верно ли вышенаписанное, т.к. пример содержится в списке задач на вычисление определённых интегралов, а не на вопросы сходимости несобственных интегралов. И если верно, то через какой критерий проще доказать несходимость?

mtk79

Верно то, что если правильно написано - то интеграл логарифмически расходится безо всяких там точных первообразных

igor196505

Написано всё правильно. Я сначала посчитал первообразную, а потом уже заметил что особая точка попала на границу интегрирования. Просто в этом разделе не должно было быть несобственных и тем более расходящихся интегралов :)
А можно немного подробнее про точное обоснование расходимости?

griz_a

[math]$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-4}=\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+4)}{x-16}\sim \frac{12}{x-16}$[/math]

igor196505

спасибо, вопросов больше нет...

mtk79

Обоснование самое простое (если препод усомнится, что Вы сами додумались умножить на сопряженное): сделать замену переменной y=16-x, добавить и вычесть 4 в числитель и, забив на регулярную часть (1 работать с -4/[\sqrt{16-y}-4]=-1/[\sqrt{1-y/16}-1]. Разлагая знаменатель в Тейлора в окр-и y=0
\sqrt{1-y/16}=1-y/32, получите f=32/y=32/(16-x)
короче, то, что Вам и написали
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: