Вопрос по функану

Nusha10

Дан оператор A_0 = - \fraq{d^2}{dx^2} в L_2(R^+ область определения D(A_0)=C_0^{\infiinity}(R^+)
Сопряженный оператор к нему: A_0^* = - \fraq{d^2}{dx^2} в L_2(R^+ область определения D(A_0^*) - все дважды дифференцируемые функции в L_2(R^+)
Значит, A_0 симметричен.
Как найти индексы дефекта для A_0 ?

pecados7

Сопряженный оператор к нему: A_0^* = - \fraq{d^2}{dx^2} в L_2(R^+ область определения D(A_0^*) - все дважды дифференцируемые функции в L_2(R^+)

Действительно, D(A_0^*) = H^2(R^+) - функции, вторые обобщенные производные которых лежат в L^2.
Для нахождения дефектных подпространств N_+ = Ker(A_0^* - i) решаем уравнение:
-f '' - i f = 0 . Только одно решение лежит в L^2(R^+). Значит n_+ = dim N_+ = 1. Аналогично с n_-.

Nusha10

Спасибо!
А откуда берутся обобщенные функции?
Сам решал по определению в лоб, ответ такой же, но неправ был в D(A_0^*)

Irina_Afanaseva

А откуда берутся обобщенные функции?

Смирнов "Курс высшей математики" т.5

pecados7

А откуда берутся обобщенные функции?

Просто по определению: если f \in D(A_0^*) , то существует такая h \in L^2, что для любой g \in C^\infty_0 ( 0; \infty ) выполнено:
<f, g'' > = <h, g>.
Это, собственно, и говорит о том, что f \in H^2 (R^+).