[СЗМ] Пожарная кишка

mtk79

И, увидавши, ошалела:
Как есть, пожарная кишка!
Допустим, в R^n с скалярным пр-ем (например, евклидовым) есть бесконечно гладкая кривая c координатами z(s) с натуральным параметром s ( [math]$\dot{z}^2=1$[/math] ).
В каждой точке s строим плоскость P(s ортогональную к мгновенной скорости, в которой циркулем проводим окружность (т.е. сферу S^{n-2}) радиуса r.
Фиксируя r одним и те же, получаем пожарную кишку.
Задача: взяв точку x на кишке, определить элемент поверхности [math]$\sqrt{g_{surface}} du_1...du_{n-1}$[/math] и нормаль к ней.
Беря r малым (например, [math]$r<\inf_{s}R_{\text{кривизны}}(s)$[/math] можно показать, что произвольной точке х на такой поверхности соответствует единственная z(s(x к поперечной плоскости коей и относится х. Таким образом, s, r и (n-2) угла [math]$\theta_i$[/math] на S^{n-2}
задают систему координат u_1...u_{n}, в которой и хотелось бы иметь объем, фиксируя r.
Дополнительно хочется, чтобы, если для точки х ввести единичный вектор n в его направлении:
n=x-z(s(x/r,
 искомый элемент записывался в виде функций от скалярных пр-й производных от z(s) в "своей" точке с n и между собой.
Учитывая, что r — мало, достаточно иметь объем в виде ряда по r
Наивные соображения подсказывают, что для низших членов ряда [math]$$d\vec{S}=r^{n-2}(1-r(\ddot{z}n) )\vec{n}  \; ds \, d\Omega_{n-2} $$[/math], но нужно выписать и для более старших членов
Собственно, вопросы:
— как грамотнее ввести углы — так чтобы потом их явный ввод не фигурировал и зазиповывался в n?
— может, спецы по диф.геому подскажут литературу, где подобная задача исследовалась
— может, собственные соображения возникнут у кого

BSCurt

Силиконец пиши не выпендриваясь, что надо сделать?
Задача: взяв точку x на кишке, определить элемент поверхности
Ну понятно нормаль, это вектор n=x-z(s(x/r, элемент объёма тогда это просто interior product этой нормали со стандартной формой объема (d x_1 ... d x_n) объемлющего пространства.
Дополнительно хочется, чтобы, если для точки х ввести единичный вектор n в его направлении:
Вообще не понял про что тут.
— как грамотнее ввести углы — так чтобы потом их явный ввод не фигурировал и зазиповывался в n?
Вроде бы ничего умного с углами не выйдет.
Самое простое это задать координаты (s, y_1,...,y_(n-1 где s параметр кривой, евклидовы координаты в нормальных плоскостях y_1,...,y_(n-1 тогда должно быть нетрудно выписать форму в этих координатах сужение, которой на кишку даст форму объема на кишке.

mtk79

Силиконец пиши не выпендриваясь, что надо сделать?
Хорошо, перефразируем: определить элемент объема как функцию от скалярных произведений векторов [math] $\dot{z}, \ddot{z}, \dddot{z}...$ [/math] (в точке s) и n, и радиуса кишки r. Можно в виде ряда по r, ибо предполагается его малость по сравнению с кривизной траектории.
Потому что производные на траектории — единственная доступная информация. То, что в скаляр они должны входить как скалярные продукты — думаю, тоже очевидно
В последнем случае, как я и сообщал, выражение для низших степеней по r — [math]$$r^{n-2} [1-r(\ddot{z}n)] ds d\Omega$$[/math]
Например: для цилиндра [math]$\ddot{z}=0$[/math] всюду, тогда стандартная форма [math]$r^{n-2} ds d\Omega$[/math]
или для тора (нет кручения) [math]$\ddot{z}^2=const, \dddot{z}=\ddot{z}^2 \dot{z}$[/math] всюду, тогда не возникает производных, старше $\ddot{z}$
Вроде бы ничего умного с углами не выйдет.

производная единичного вектора n по углам сразу дает касательные векторы к сфере в угловом секторе координат, эти же векторы ортогональны и скорости (касательной к траектории)
В определитель они войдут как метрика на сфере
евклидовы координаты в нормальных плоскостях y_1,...,y_(n-1

ну так все равно надо знать, как они поворачиваются вместе с кривой
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: