Помогите численно решить уравнение

Jeton89

Подскажите, пожалуйста, как численно решить следующее уравнение:
[math]$\displaystyle \frac{\partial A(z,\omega)}{\partial z} = R(\omega) \int_{-\infty}^\infty I(z,\omega-\omega') A(z,\omega') d\omega' $[/math] ?
Это уравнение входит в цепочку уравнений метода расщепления, поэтому нужно сделать всего лишь один шаг по z: [math]$z \in (z,z+\triangle z)$[/math] . Начальное условие для всех функций в точке z, соответственно известно.

seregaohota

Про функцию I что известно, как-то убывает или с компактным носителем? A при численном решении задана на равномерной сетке или как?

Jeton89

Я, к сожалению, не математик и что такое компактный носитель не знаю. На самом деле, функция [math]$I=|A|^2$[/math], но обычно для простоты расчетов берется просто с предыдущего шага. Какие-то разумные предположения о том как функции A и I ведут себя вдоль координаты z похоже сложно дать.
В частотном пространстве [math]$\omega$[/math] сетка равномерная и, соответственно, все функции на границах равны нулю. Координата z - эволюционная (пройденное расстояние от начала счета). Шаг вдоль z адаптивный, но, как я уже сказал, мне нужно решить это уравнение только на одном шаге вдоль z.

seregaohota

Если сетка по переменной интегрирования равномерная, тогда интеграл считать IMHO надо по формулам Ньютона-Котеса. а по z подход к наилучшему приближению наверно такой же, как при численном интегрировании по времени для обыкновенных уравнений или в частных производных, пофиг что в правой части интеграл, а не как обычно какие-нибудь производные по пространственным координатам.
По интегрированию можно глянуть ещё вокруг на Википедии по словам численное интегрирование (и по ссылкам оттуда) по русски-английски и книжки на библиотеке мехмата.
Ещё вопрос возникает как там получится с устойчивостью, но обычно если устойчивости нет - то численный счёт просто выдаёт мусор с быстрым ростом значений и даже выходм за диапазон представления чисел с плавающей точкой, а если осмысленные результаты, то наверно всё нормально. Обычно неустойчивость если шаг по z слишком большой.
Но вообще рализуешь простейший алгоритм с приближением производной по z конечной разностью и смотришь как он пашет или нет. А дальше уж лезешь в дебри если что.

Jeton89

Ну Эйлер не сработал - в разнос все пошло. Поэтому и заморачиваюсь.
Спасибо за советы.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: