Производная Фреше.

Sheco

Привет!
В задаче требуется найти производную Фреше функции
Корректно ли сделать вот так:
Найти F(x+h,y+h)-F(x,y).
Получится 2h^2+h(2x+2y+2)
Сказать, что h^2=o(h) в нуле, и сказать, что производная Фреше - это 2x+2y+2.
Вроде так делают, но мне непонятно, корректно ли выбирать одно и то же приращение для x и y?
Есть ли какие-то ошибки?

griz_a

Конечно же некорректно.
Производная Фреше в точке - это линейный оператор, действующий там же, где и исходное отображение.
Если в исходной задаче все было из R, то должен получиться оператор из R^2 в R. А у вас из R в R получился.
Приращение h - это произвольный элемент из все того же пространства, где определено отображение, т.е. двумерный вектор. Как только вы это осознаете и исправите ваше рассуждение, все тут же станет верным.
В общем-то, в случае отображений из R^n в R^m вполне естественный ответ получается.

tester1

Первая производная Фреше твоей функции - это градиент , вторая - матрица Гессе.
Лучший из известных мне учебников по теме написан Картаном, есть русский перевод http://inis.jinr.ru/sl/vol2/Ax-books/Disk_01/Cartan-DiffIsch...

tester1

корректно ли выбирать одно и то же приращение для x и y?
не-а
при нахождении производной Фреше вектор с координатами (х,у) должен получить приращение h=(h_1,h_2).
Если же h_1=h_2, то это уже производная Гато, она же производная по направлению. Направление при этом будет задаваться вектором с координатами (1,1 т.к. h_1=h_2.

Sheco

Спасибо!
Я правильно понимаю, что нужно сделать так:

Так как

Значит

Тут нет ошибок?

griz_a

В знаках какие-то странные фортели. А вообще Ваня же уже заспойлерил ответ - градиент должен получиться

tester1

А вообще Ваня же уже заспойлерил ответ
Судя по дате регистрации, у чела на носу пересдача по функану, имхо в таких случаях надо спойлерить сразу, т.к. у чела может не хватить времени и квалификации разобраться самостоятельно.

tester1

Тут нет ошибок?
Есть, Саша верно указал на неправильное место. Источник ошибки - неверное вычисление функции F. Распиши поподробнее, без операций в уме, сразу найдёшь косяк.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: