Вторая производная неявной функции

sashok01

Допустим, есть функция y(x заданная неявно как F(x,y)=0. Допустим, я умею находить все частные производные функции F(x,y) до второго порядка включительно.
Вопрос - что из этих двух подходов для определения второй производной является правильным? Туплю, не могу найти ошибку.
Ниже частные производные я буду обозначать как ,x ,y ,xx ,xy ,yy . Производные y(x) - как y' и y''
АПД. Разобрались, нашли ошибку
1)
F(x,y) = 0. Применяем к уравнению d/dx
F,x+F,y*y'=0. Опять применяем d/dx
d/dx(F,x) + d/dx(F,y)*y' + F,y* d/dx(y') = 0
F,xx + F,xy*y' + (F,xy+F,yy*y')*y' + F,y*y'' =0
Отсюда y''=-(F,xx + 2F,xy*y' + F,yy* y'^2)/F,y
(Производная y' = -F,x/F,y)
2) Раскладываем F(x,y) как функцию двух переменных в ряд Тейлора в некоторой точке, принадлежащей неявной функции. Для определенности пусть это будет точка (0,0)
0=F(x,y)=F(0,0)+x*F,x+y*F,y + x^2/2*F,xx + xy*F,xy + y^2/2*F,yy = 0
Получаем квадратное уравнение относительно y:
y^2*F,yy + 2y*(F,y+x*F,xy)+ (x^2*F,xx + 2*x*F,x)=0
Решение y(x) можно рассматривать как график неявной функции в окрестности точки разложения.
Имеем
D1= (F,y+x*F,xy)^2 - (x^2*F,xx+2*x*F,x)*F,yy;
y=[-(F,y+x*F,xy)+-sqrt(D1)]/F,yy
(так как точка (0,0) должна принадлежать нашему графику y(x то корень должен браться с плюсом при F,y>0 и с минусом при F,y<0)
Так как рассматриваем только малую окрестность, то раскладываем sqrt(D1) в ряд Тейлора до x^2 включительно. Все частные производные считаем константами. Получаем [правильная ссылка] sqrt(D1) = |F,y| + x*(F,xy*F,y - F,x*F,yy)/|F,y| - x^2/2*F,yy*(F,x^2*F,yy-2*F,x*F,xy*F,y+F,xx*F,y^2)/|F,y^3|. Дальше находим вторую производную y(x) как многочлена второй степени, т.е. берем коэффициент при x^2 и умножаем на два, получаем y''=-(F,xx*F,y^2 -2*F,x*F,xy*F,y +F,x^2*F,yy)/(F,yy*F,y^3)
Собственно, вопрос - какая из этих формул правильная?
 
1) y''=-(F,xx - 2F,xy*F,x/F,y + F,yy* (F,x/F,y)^2)/F,y

 
2) y''=-(F,xx*F,y^2 -2*F,x*F,xy*F,y +F,x^2*F,yy)/(F,yy*F,y^3)

Формулу (2) можно преобразовать к
 
2') y''=-(F,xx -2*F,xy*F,x/F,y +F,yy*(F,x/F,y)^2)/(F,yy*F,y)

, тогда она немного напоминает (1 но есть отличия совпадает с (1)

Lene81

Способ 2) неверный. На эту тему в курсе анализа есть странная теорема, смысл которой мало кто осознает, но она именно для таких случаев: Инвариантность формы первого дифференциала. Во втором случае ты раскладываешь до второго дифференциала, предполагая x и y независимыми, а потом подставляя y = y(x). Так вот, это неверно именно по этой теореме. Точнее, ее нельзя усилить.
И вообще, правильный способ — дифференцировать второй раз y' = -Fx/Fy

sashok01

Для неявной функции F(x,y) =0 ведь неважно, y зависит от x или x зависит от y. Так разве локально график неявной функции не совпадает со своим разложением в ряд Тейлора (которое приравненное к нулю тоже является неявной функцией)?

Lene81

Я много раз прочёл твой вопрос, но, признаться честно, так и не понял логических переходов. Сдается мне, ты пользуешься какой-то неверной геометрической аналогией.

sashok01

Более формально.
Есть функция от двух переменных F(x ,y бесконечно раз дифференцируемая в точке (0,0) и равная в этой точке нулю. Есть неявно заданная функция F(x,y)=0, допускающая локально вблизи точки (0,0) представление как в виде y=y(x так и x=x(y).
Разложим F(x,y) как функцию двух переменных в ряд Тейлора и ограничимся только членами, степень которых не превышает N (т.е. x,y,x^2,y^2,xy,...x^N,x^(N-1)y,... y^N назовём эту функцию F_N(x,y). Отличие F от F_N имеет порядок малости O(r^(N+1.
Пусть существует окрестность, в которой обе неявные функции F(x,y)=0 и F_N(x,y)=0 допускают представление как y=y(x) и y_N=y_N(x так и x=x(y) и x_N=x_N(y). Существует ли окрестность точки 0, в которой разность y(x)-y_N(x) имеет порядок O(x^(N+1 ?

Sergey79

Имхо во втором способе есть ошибки. Самому лень считать, но и D1 написан не правильно, и его разложение. Так мне кажется

sashok01

Спасибо!
Ошибки исправил, теперь всё сходится.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: