Задача по функциональному анализу

satyana

Попросили запостить:
1. A : C[0,1] в себя,
(Afx) = f(x^2). Найти Sp (A)
2. A_n : L_2[0,1] в себя
(A_n fx) = f(x^{1-1/n})
Исследовать на сходимость.

NHGKU2

а что это за обозначение - Sp(A)?
точечный спектр?

satyana

весь спектр наверно, хз.

NHGKU2

сходится по норме к тождественному оператору I.
доказательство: расписать норму ||Af(x)-f(x)|| в виде интеграла, раскрыть скобки (квадрат разности) и в первом интеграле сделать замену t=x^{1-1/n}. затем воспользоваться тем, что x^{1/n}->1 п.в. и непрерывностью f(x). в результате получится ||Af(x)-f(x)||->0 при n->\infty п.в.

elektronik

затем воспользоваться тем, что x^{1/n}->1 п.в. и непрерывностью f(x).
А где сказано про непрерывность?!
Функции из L_2(0,1) не все непрерывны!

NHGKU2

хм... да, ты прав. немного перепутал.
тогда задача будет решена, если доказать что (f(x^{1-1/n}f(x->||f||^2.
может быть можно как-нибудь показать, что f(x^{1-1/n})->f(x) при n->\infty для f из L_2?

griz_a

Весь, весь...

parfum74

)Похоже, что единственное сз - 1. А так, при сз 2 можно взять св f(x)=ln(x но он к нещастью, разрывен

griz_a

А по-моему при всех по модулю >1 спектр

griz_a

Ладно, чушь сморозил. Странно, f(x^n)=l^nf(x)+l^(n-1)*g(x)+...g(x^n где g=f(x^2)-l*f(x). Вроде расходится n->inf. А спектральный радиус всего один. Где-то я туплю...

griz_a

за пределами круга с центром 0 сектрального радиуса, т.к. норма всего один, т.ч. не собственное...

vital_m

Пусть $l \neq 1$ -- с. зн.
Имеем

f(x^2) = l f(x).
Отсюда f(0) = f(1) = 0.
Справедлива формула f(x^{2^n}) = l^n f(x) (1) и формула
f(x^{1/2^n}) = l^{-n} f(x) (2)
Т.к. f не тождественный 0, то \exists x, s.t. f(x) \neq 0, x \neq 0,1.
C другой стороны, x^{2^n} \to 0, x^{1/2^n} \to 1.
Из непреравности f и (1) вытекает, что |l| <1, а из (2 что |l| > 1.
Противоречие.
Значит, l=1 ед. с.зн.
Соответствующие с. функции, например, константы.
Отсюда, вроде и весь спектр состоит из 1.

griz_a

Это только точечный спектр. Вопрос заключается по сути в непрерывном и остаточном....

NHGKU2

есть подозрение, что этот оператор самосопряженный, а тогда его спектр - вещественный

elektronik

Мда!
Кажется, нужно найти спектр оператора, как уже отметили не только точечный...
А все те комплексные числа \lambda такие, что A - \lambda I необратим! Это несколько посложнее...

vital_m

Что есть самосопряженный в С?

vital_m

Конечно, отсюда не следует, что весь спектр равен 1.
Меня проглючило.

NHGKU2

мля, опять ступил
C[a,b] - это же не гильбертово пространство, а банахово...

elektronik

)
Оператор A переводит единичный шар в C[a,b] в себя, причём, сам он обратим: (A^{-1}ft) = f(\sqrt t).
Значит, он является компактным.
А у нас есть теорема "о спектре компактного оператора", в которой сказано "..." (здесь вы должны вставить пропущенное предложение ). Что является уже неплохим достижением!
Вобщем, я жду, когда вы вставите пропущенное предложение -- уф! ну прямо как в первом классе =)

parfum74

Все, понял.

vital_m

>>>A переводит единичный шар в C[a,b] в себя и обратим:
Значит, он является компактным.
Почему?
Конечно, если A компактный, то 0 единственное возможное
значение неточечного спектра.

parfum74

Что мешает рассматривать момплекснозначные функции? Для них из тех же рассуждений следует, что все сз по модулю = 1

elektronik

Есть такое утверждение: оператор компактен <=> он переводит единичный шар в предкомпакт!
Но, по ходу, меня сглючило...
единичный шар в C[a,b] --- предкомпакт?!

NHGKU2

нет

elektronik

А все те комплексные числа \lambda такие, что A - \lambda I необратим!
Это ведь отличается от "все те комплексные числа \lambda такие, что A = \lambda I", как по твоему?!

griz_a

Сглючило

sanosik

> Что мешает рассматривать момплекснозначные функции?
В задачах про спектр именно только комплексные векторные пространства и подразумеваются.

griz_a

Да, иначе бы все комплексные лямбда были бы из спектра уже при образе равном константе ...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: