Школьные замысловатые задачи

Irbis-S

Подскажите плз идеи решения, никак что-то не соображу.
1) 2х+3у+5z = 11, решить в целых числах
2) Есть 17 точек на окружности, каждые две соединены отрезком одного из 3х цветов. Доказать, что существует треугольник из этих отрезков, со сторонами одного цвета
3) На какое наименьшее число частей надо разрезать проволоку длиной 12 см чтоб сделать каркас куба со стороной 1 см? Проволоку можно гнуть а части скреплять между собой
4) Есть Петя, у него 28 одноклассников. У каждого из них разное число друзей в классе. сколько из них дружит с Петей?

mab1

)
см. диофантовы уравнения. Для удобства, например, положи z=2. Остается 2x + 3y = 1. Одно решение очевидно: x = -1, y = 1, z = 2. Это частное решение.
Общее решение: 2(a-1) + 3(b+1) + 5(c+2) = 11, a,b,c целые, но пока не известны
2a + 3b + 5c = 0
c=-n.
Подзадача: 2a + 3b = 5n. Частное решение: b = 5n, a = -5n. Общее решение: a = -5n + 3k, b = 5n - 2k
Итого:
x = 3k - 5n - 1
y = 5n - 2k + 1
z = 2 - n
для любых целых n, k.

fry1

) Все точки лежат на окружности, значит никакие три из них не лежат на одной прямой, а значит из любых трёх можно составить треугольник. Возьмём произвольную точку. Из неё выходят 16 отрезков, значит из этих 16 найдётся 6 одного цвета, допустим красного (если каждого цвета меньше шести, то в сумме будет не больше пятнадцати отрезков). Если среди 6-ти точек, в которые ведут эти отрезки, какие-то две соединены отрезком того же цвета , то вот он наш искомый треугольник. Если нет, то рассуждаем дальше. Получаем , что эти точки лежат на окружности и соединены между собой отрезками уже только двух цветов. Аналогично рассуждаем: берём произвольную точку, из неё выходит 5 отрезков, из них минимум 3 отрезка одного цвета (синего если какие-то две точки из тех, в которые ведут эти три отрезка соединены отрезком того же цвета, то всё ОК, если нет, то получаем систему из трёх точек, которые соединены отрезками другого цвета, т.е. одного и того же. Тоже всё ОК.

incwizitor

Вот что пришло на ум по поводу первой задачи
1) 2x + 3y + 5z = 11
Во-первых, решение есть (0, 2, 1 во-вторых, если есть второе решение, то разность двух равенств даст нам уравнение плоскости:
2t + 3v + 5u = 0; (*)
Таким образом все решения исходного уравнения - это сумма частного решения и общего :
(0,2,1) + {(t,u,v) | t,u,v удовлетворяют (*)}
Что такое (*) ? Это уравнение плоскости, а плоскость задается двумя неколлинеарными векторами. Их легко можно найти, например, (1, 1, -1) и (3, -2, 0)
Таким образом
x = m + 3n
y = 2 + m - 2n
z = 1 - m
, где m,n - целые
Самостоятельно подумать вот над чем: выбор двух неколлинеарных векторов должен быть осторожным, ибо мы находимся на дискретной решетке (у нас нет коэффициентов 1\3 поэтому вектора должны быть маленькими в каком-то смысле, чтобы задать все целочисленные точки плоскости.

Irbis-S

я как оказалось, была очень простая.
Они все в принципе несложные, надо только идею заметить
Решение первой должно быть попроще, на уровне школьника, без частных и общих решений.
Если кто видит решение попроще - напишите плз.
Также подскажите про куб (знаю как через 4 куска можно сделать, можно ли через 2 или 3 ?) и про Петю

Damrad

про куб: меньше четырех нельзя. потому что куб это граф из восьми вершин, каждая из которых нечетной степени = три. одним куском проволоки мы устраним не более двух таких нечетных вершин (мы должны зайти и выйти в вершину, тогда на четные как бы пох, а с нечетными проблема - в каждой из нечетных должен либо начинаться, либо заканчиваться один из путей, т.е. одна из проволочек). Это типа Эйлеровы пути.
Ну а для 4 пример легко построить

mab1

> Решение первой должно быть попроще, на уровне школьника, без частных и общих решений.
Не понимаю этого странного требования. Куда уж проще? Это на уровне не просто школьника, а ученика 5 класса. Простейшая алгебра в том виде, с которого начинается знакомство с алгеброй в школе. Если твой школьник не знает слов "общее" и "частное", их можно опустить без потери смысла.

Irbis-S

а, сорри.
видимо я уже подзабыл что в школе проходят, у меня сразу ассоциации с дифф. уравнениями

lenmas

Не понимаю этого странного требования. Куда уж проще? Это на уровне не просто школьника, а ученика 5 класса.
Зря ты так. Диофантово уравнение, даже простейшее и с двумя неизвестными, в общем потоке никогда не рассказывают.
Я только из специальных брошюрок узнал, как оно решается. :)

mab1

Разумеется, это не рассказывается школьникам. Просто диофантовы уравнения никому в быту не нужны, вот их и не рассказывают. Но объяснить-то их можно 5класснику, потому что никаких предварительных знаний не требуется. (линейные объяснить, а не любые :) )

lenmas

потому что никаких предварительных знаний не требуется
 :ooo:
Я бы не понял с первого разу, хотя ездил по олимпиадам и был неслабым в математике товарищем :)
В смысле, почему решение диофантова уравнения ax+by=c так записывается (то-есть частное решение плюс-минус b,a) :(

incwizitor

4) Есть Петя, у него 28 одноклассников. У каждого из них разное число друзей в классе. сколько из них дружит с Петей?
Исходим из предположения, что если А друг для Б, то Б - друг для А.
Пронумеруем всех 29 человек согласно кол-ву их друзей:
а) 1,2,3,...,28,П
Предпоследний чувак дружит со всеми, поэтому, если его удалить, то получим
0,1,2,..,26,П - 1
Продолжаем далее (нулевой чувак не делает погоды и мы его удаляем и приходим к пункту а но с числом 26) и получаем в итоге
0, П - 14
У Пети 14 друзей.
б) 0,1,2,..,27, П
Если удалить первого чувака, то мы придем в пункту а но с числом 27, а не 28, а значит, в итоге получим такую картину:
1, П - 13
У первого чувака есть друг (П значит, снова у Пети 14 друзей.
Не уверен в правильности решения...

Damrad

Петино число друзей может повторятся с одним из чисел у его одноклассников? !
Из условия не ясно

incwizitor

я исходил и того, что уникальность числа друзей на Петю не распространяется :grin:

griz_a

У каждого из этих 27 людей от 0 до 27 друзей.
Пусть есть человек с 0 друзей. Тогда с 27 нет, значит у остальных 1, 2, ...., 26 друзей.
26 - знаком со всеми кроме 0. 1 только с 26. 25 со всеми кроме 1. И т.д.
Итого Петя дружит с 13 людьми
Случай когда есть человек с 27 друзьями получается заменой друзей на не друзей и наоборот.
Тогда он дружит с 14
upd. А, 28 одноклассников, а не всего 28. Тогда оба раза по 14 :)

Irbis-S

отлично, спасибо, со всеми задачами разобрался.

Irbis-S

Только про петю не до конца ясно, проясните плз.
в классе всего 29 человек (28+ Петя) и на 28 человек есть разные числа кол-в друзей от 0 до 29, т.е. 30 возможных чисел и так взаимно-однозначно перенумеровывать не получится

griz_a

А как может быть 29 друзей у кого-то, если в классе 29 человек?
Ну и почему вместе 0 и 29 в одной компании не встретятся тоже понять легко

Irbis-S

а, да, точно.
теперь все ясно.
спасибо
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: