отцам ТФФА

Aleksey67

приведите, если несложно, примеры симметрических не самосопряжённых операторов
с указанием индексов дефекта
буду очень благодарен

vovatroff

Оператор -id/dx в L2(a,b) с граничными условиями f(a)=f(b)=0.
Симметрический, несамоспоряженный (сопряженный есть -id/dx без граничных условий).
Проверяется инт-ем по частям.
Индексы дефекта не помню, могу посмотреть, числа 9-го напишу.

Aleksey67

у меня получились размерности дефекта (1,1)
я правильно посчитал?

vovatroff

да, я посмотрел по книжкам, все правильно.
Решение - в двух словах - такое:
Есть одно независимое решение уравнения (-id/dx)f(x) =\lambda f(x) при \lambda = i, и одно -
при \lambda = -i. Решения вида exp(-x) и exp (x соответственно, оба принадлежат L_2(a,b) на
любом ограниченном интервале. Отсюда индексы дефекта (1,1).
Оператор ни самосопряженный, ни самосопряженный в существенном. Но индексы дефекта совпадают, поэтому можно построить семейство его самосопряженных расширений, в
данном случае - однопараметрическое.
Если надо, могу описать подробнее. Могу ссылку дать.

Aleksey67

если сможете описать поподробнее или хотя бы дадите ссылку - было бы здорово!

vovatroff

М.Рид, Б.Саймон, Методы современной математической физики,
в 4-х т.т., том 1 и 2 (приведенный пример).
Могу и подробнее, но позже.

vovatroff

Как и обещал, пишу подробнее. Может, кому еще будет интересно.
Понятие индексов дефекта ввел фон Нейман, когда разрабатывал теорию
неограниченных симметрических (эрмитовых) операторов в связи с
задачами квантовой механики. Там много примеров таких операторов,
в основном это - дифференциальные операторы в пространстве L_2
(операторы импульса, момента, гамильтониан и др.). Вопрос состоит
в том, при каких условиях эти операторы являются самосопряженными (c/c
или их хотя бы можно доопределить до самосопряженных - тогда говорят об их
c/c расширении. Это важно знать потому, что физической величине в квантовой
механике может соответствовать только самосопряженный оператор.
Если A - неограниченный симметрический оператор, то его индексы дефекта
определяются как размерности подпространств решений уравнений вида
Af = if и Af = -if, соответственно, i - мнимая единица. Поэтому индексы дефекта
- это пара целых неотрицательных чисел (n,m возможно, бесконечных.
В конечномерном пространстве для симметрического оператора всегда m=n=0.
В бесконечномерном случае все сложнее. Фон Нейман показал, что
если для данного оператора индексы дефекта равны (0,0 то либо он уже
самосопряженный, либо в существенном самосопряженным (essentially self-adjoint т.е. его замыкание есть самосопряженный оператор. Если они просто равны (m=n то у данного
оператора есть целое (если не ошибаюсь, m-параметрическое) семейство
разных c/c расширений - каждое со своей областью определения. Если m и n не совпадают,
то никаких c/c расширений данный симметрический оператор не имеет, и ему не может
соответствовать никакая физическая величина.
В примере, приведенном выше, индексы дефекта оператора равны (1,1 потому что каждое из
уравнений Af = if и Af = -if имеет одно линейно независимое решение в L_2(a,b) (они
находятся в явном виде, см. в предыдущих постах). Поэтому у этого оператора есть
однопараметрическое семейство c/c расширений. Все они задаются тем же выражением
-id/dx (в смысле распределений но различаются граничными условиями: f(a)=f(b)*\alpha, где
alpha=exp(i*\phi). Физический смысл этих граничных условий таков: после прохождении отрезка
(a,b) квантовая частица приобретает добавку к фазе волновой функции, равную \phi. Например, в задаче на окружности возможно только \phi=0. А в задаче об электроне в одномерном кристалле с периодом b-a величина \phi уже может быть разной, в зависимости от физической ситуации. Поэтому разным c/c расширениям отвечают разные физические задачи, и наоборот.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: