Про расслоения и пучки

papa1

Известно, каждому векторному расслоению конечного ранга над топологическим пространством сопоставляется пучок его непрерывных сечений. Такие пучки и изоморфные им называются локально свободными. Их теория довольно развита. Но нигде мне не удавалось встречать работы, где бы рассматривались векторные расслоения бесконечного ранга и пучки, им соответствующие.
Поделитесь знаниями и опытом на этот счет, кто может...

goga7152

Но нигде мне не удавалось встречать работы, где бы рассматривались векторные расслоения бесконечного ранга и пучки, им соответствующие.
Например, для сепарабельного гильбертова пространства есть знаменитая теорема Кюйпера, утверждающая, что его группа ограниченных унитарных операторов (а значит и ограниченных линейных, ввиду полярного разложения) стягиваема (в топологии операторной нормы). Значит, любое локально тривиальное расслоение со слоем сепарабельное гильбертово пространство изоморфно тривиальному, и теория получается неинтересной.
Вообще, ответы (есть много разных вариантов) на интересующий Вас вопрос нужно искать в учебниках и монографиях по К-теории (причем в самых "старых" в основном рассматривался "классический" случай конечномерных векторных расслоений).

goga7152

Кстати, расслоения со слоем "бесконечномерное проективное пространство" (точнее, проективизация сепарабельного гильбертова пространства H) над базой X (с проективной унитарной группой с топологией операторной нормы в качестве структурной группы) уже не тривиальны, вообще говоря (и их классы изоморфизма классифицируются трехмерными целочисленными когомологиями базы X -- т.н. "инвариант Диксмье-Дуади"). Это приводит к существованию семейства т.н. "скрученных К-теорий", обобщающих классическую топологическую К-теорию. Вообще, развитие этой науки сильно простимулировано современной физикой (т.н. "теорией бран" -- грубый намек на эту связь дает то, что пространство состояний "типичной" квантовой системы является проективизацией гильбертова пространства) . Почитать обо все этом можно например в серии препринтов на http://arxiv.org/ (искать в http://arxiv.org/find/math на авторов Atiyah или Segal -- дальше можно по ссылкам).

papa1

Спасибо...
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: