Случайное блуждание со случайными вероятностями

Polyphem

Широко известны теоретические результаты для следующей модели: имеется серия экспериментов, для каждого эксперимента в случае успеха число наших очков увеличивается на 1, в случае неудачи - уменьшается на 1; вероятность успеха в каждом эксперименте равна p.
Подскажите, пожалуйста, материалы по изучению модифицированной модели, а именно:
имеется серия экспериментов, для каждого эксперимента в случае успеха мы увеличиваем число наших очков на случайную величину (распределение заранее известно в случае неудачи число наших очков уменьшается на случайную величину (распределение заранее известно). Для простоты, к примеру, оба распределения - для успеха и неудачи - не зависят от номера эксперимента, постоянны и заранее известны. Вероятность успеха в каждом эксперименте тоже случайна и имеет, для простоты, фиксированное распределение на [0, 1].
Возможно, данная модель сводится к классической. Буду благодарен за наводки, где можно почитать о модифицированной модели. Спасибо.

griz_a

Здесь нет смысла вводить "потерянные" и "приобретенные", просто значение изменяется на случайную величину.
Первая модель (когда величина 1 или -1) называется простое случайное блуждание, вторая - однородное случайное блуждание, если все распределения одинаковые. Ну и про него известно очень много всего, собственно, его обычно и изучают, для простого все слишком просто.
Материалов море, так что лучше уточнить, что именно нужно.

Polyphem

Спасибо, подчеркну для ясности картины два принципиальных момента::
* случайные выигрыши в случае успеха и неудачи должны моделироваться разными распределениями, то есть блуждание неоднородно.
* вероятность успеха в конкретном эксперименте тоже случайна.
Интересуют для начала совсем базовые вещи, для которых известны результаты для простейшего случая (случайное блуждание +1/-1 к примеру, условная вероятность получить +100, если играем до тех пор, пока получим +100 или -K (кажется, это называется задача о разорении мат ожидание времени, которое мы ждём до того момента, как остановимся. Предельные результаты (как связь случайного блуждания и броуновского движения) и т д
Для простоты я могу задать все расперделения априорно, если в общем случае результаты слишком сложны.

griz_a

* случайные выигрыши в случае успеха и неудачи должны моделироваться разными распределениями, то есть блуждание неоднородно.

Забудем про успех и неудачу, просто есть случайный выигрыш со знаком.
Этот случайный выигрыш неоднороден в каком смысле? Я вижу 3 разумных понимания вашей фразы
1) Распределение выигрыша несимметрично
2) Распределение выигрыша на каждом шагу свое
3) Распределение выигрыша свое в каждой точке (т.е. зависит от того, какая в данный момент у меня сумма)
вероятность успеха в конкретном эксперименте тоже случайна.

Вероятность успеха тут тоже не нужна совершенно, важен сам выигрыш. Что тут имеется ввиду
1) Распределение выигрыша определяется случайным образом, на каждом шагу независимо
Тогда это просто случайное блуждание, потому что розыгрыш распределения, а потом случайной величины - все равно что сразу величину с итоговым распределением разыграть
2) Распределение выигрыша случайно, но связано с заданной точкой. Т.е. для каждой точки разыграли распределение и попадая в нее, мы шагаем в соответствии с привязанным к ней распределением. Тогда это так называемое случайное блуждание в случайной среде.
Какие в данном случае расклады?

Polyphem

Саша, большое вам спасибо за наводящие вопросы.
Забудем про успех и неудачу, просто есть случайный выигрыш со знаком

всё, я понял, что вы имеете в виду!
Итак, можно начать с самого простого случая: на кажом шаге выигрыш задаётся случайной величиной с заранее фиксированным распределением, случайные величины на каждом шаге независимы в совокупности.
Следовательно, распределение выигрыша одно для каждого шага и не зависит от того, какая сумма есть на данный момент. Конечно же, распределение не обязано быть симметричным.

griz_a

А, ну если обычное случайное блуждание, то тут так.
Предельные результаты достаточно близки к результатам для простого случайного блуждания (в нормальной зоне, т.е. всякие сильно редкие события могут совсем другую вероятность иметь)
В частности, есть теорема Донскера о том, что нормированное блуждание, линейно интерполированное между точек решетки (в случае, когда есть м.о. и дисперсия) сходится в пространстве непрерывных функций к броуновскому движению, откуда и непрерывные функционалы всякие имеют то же предельное распределение, что и простое симметричное.
А непредельные в лучшем случае сводятся к каким-то соотношениям, поскольку слишком много параметров. В частности, задача о разорении решается только в определенном спектре распределений, насколько я знаю.

Polyphem

В частности, задача о разорении решается только в определенном спектре распределений, насколько я знаю.
Думаю, стоит внести какую-либо определенность, рассмотрев конкретный пример.
Пусть случайная функция выигрыша строится так: есть случайная величина X, равномерно распределенная на [0.5;1], сначала реализуется эта величина, а потом кидается монетка, вероятность выпадения орла которой есть X. Если выпал орёл, то выигрыш есть равномерно распределенная на отрезке [1, 2] случайная величина Y, если выпала решка - то выигрыш равномерно распеределенная на [-1, -0,5] случайная величина Z.
Для подобной величины выигрыша можно что-либо сделать?

griz_a

Если речь об асимптотике вероятности пересечения далекой границы раньше другой, то да.
Если о точном значении вероятности, то сильно сомневаюсь.

Polyphem

Если речь об асимптотике вероятности пересечения далекой границы раньше другой, то да.
В частности, задача о разорении решается только в определенном спектре распределений, насколько я знаю

А не подскажете, где про это можно прочесть? Если это возможно, то чтобы было наглядно и упор больше на интуицию, чем на аксиоматику и функан. Большое спасибо.

griz_a

Про асимптотику - это из общих соображений.
Если блуждание со средним 0, начальные капиталы стремятся к бесконечности, причем A/B стремится к какому-то ненулевому пределу, то за MA^2, где M - большая константа, с вероятностью, стремящейся 1, хоть одну границу мы пересечем. Возьмем функционал f от траектории длины MA^2, означающий 1, если первым пересекается уровень A, -1, если первым пересекается уровень -B, 0, если оба не пересекаются. Тогда этот функционал непрерывен на броуновском движении и можно из принципа инвариантности подсчитать вероятность того, что он равен 1. Потом M уведем к бесконечности.
Если блуждание с положительным средним, а обе границы растут, то с вероятностью, стремящейся к 1, нижняя граница никогда не будет достигнута вообще.
Про точные формулы для разных распределений - вбей в гуглсколар "ruin probabilities random walk", думаю, всплывет что-нибудь. Я пару раз случайно натыкался на работы, в которых для каких-то отдельных распределений получали что-то конкретное в таких задачах.

Arthur8

марковские цепи?
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: