Линеаризация

zvv75

Друзья, есть уравнение такого вида:

Вопрос - как правильно линеаризовать квадрат производной по иксу?

vtdom79

[math]  $$  f(x,t) \to f(x_0,t_0) + (x-x_0)\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{x=x_0,t=t_0} + (t-t_0)\left.\frac{\partial f}{\partial t}\right|_{x=x_0,t=t_0}  $$  $$  \left(\frac{\partial s(x,t)}{\partial x}\right) ^2 \to \left(\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=x_0,t=t_0}\right)^2 + 2 (x-x_0)\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=x_0,t=t_0} \left.\frac {\partial ^2 s}{\partial x^2}\right|_{x=x_0,t=t_0} + 2 (t-t_0)\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=x_0,t=t_0} \left.\frac {\partial ^2s}{\partial x \partial t}\right|_{x=x_0,t=t_0}  $$  [/math]
вроде так
АПД. Забыл, что S зависит от времени - исправил.
ААПД. Еще раз исправил - добавил слагаемое с f(x_0,t_0)

zvv75

не очень поняла, как ты это сделал. А нам же нужна частная производная по х, нам там время не важно :)

griz_a

Ну если хочешь только по x линеаризовывать, то так:
[math]  $f(x,t)=(\frac{\partial S(x,t)}{\partial x})^2\\$  $f(x,t)\rightarrow(x_0,t)+(x-x_0)\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}|_{x=x_0}\\$  $2m\frac{\partial S(x,t)}{\partial t}+2mU=-(x-x_0)\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}=-2(x-x_0)\frac{\partial^2 S(x,t)}{\partial x^2}|_{x=x_0}  \frac{\partial S(x,t)}{\partial x}|_{x=x_0}  $[/math]

vtdom79

Первая строчка - общее правило линеаризации произвольной функции f(x,t). Вторая строчка - то, что получится, если подставить вместо f(x,t) [math]$\left(\frac{ds(x,t)}{dx}\right)^2$[/math], там применяется правило нахождения производной сложной функции.
Вообще обычно линеаризуют по всем переменным. [math]$\left(\frac{ds(x,t)}{dx}\right)^2$[/math], вообще говоря, зависит и от t, и от x, поэтому линеаризуется с обеими производными.
АПД.
Если только по x, то так:
[math]  $$  \left(\frac{\partial s(x,t)}{\partial x}\right) ^2 \to \left(\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=x_0}\right)^2 + 2 (x-x_0)\left.\frac{\partial s}{\partial x}\right|_{x=x_0} \left.\frac {\partial ^2s}{\partial x^2}\right|_{x=x_0}  $$  [/math]

griz_a

ну, да, пожалуй, ты прав. Толку от линеаризации только по x немного. Уравнение все равно даже локальное довольно поганое
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: