Инвариантность уравнения

asics167

В общем, звучит странно, но что значит, что, например, лагранжиан инвариантен относительно преобразований, например, Лоренца. Или уравнение Эйлера-Лагранжа инвариантно относительно них.
Что конкретно надо куда подставить и проверить?
Лагранжиан, к примеру, такой : L = (dy/dx)^2 - y^2 , y=y(x).
Преобразование : x'=Аx, A - ортогональная матрица. х - вектор.
То есть производные в лагранжиане на самом деле частные, по какой-то конкретной координате х.

fatality

прежде всего, не следует путать время, по которому как раз берется производная в кинетической части функции Лагранжа, и пространственные координаты x (которые как раз и подвергаются ортогональному преобразованию)

fatality

производная по времени - обыкновенная, а в потенциальной части у вас скорее всего не y^2, а какая-то функция r ( расст от начала коорд)
тогда он, понятное дело, инвариантен относительно поворотов с отражениями

angel_18

Сообщение удалил

angel_18

Производная может быть и не по времени

fatality

у автора здесь
L = (dy/dx)^2 - y^2 , y=y(x).
не видно производных по времени

fatality

это не только вопрос обозначений
далее у него x, по которому он дифференцировал, подвергается орт. преобразованию, т.е это "не время"

angel_18

Вот и я о том же. Это может быть "математическая абстракция - предельно упрощенный Лагранжиан". В т. поля время никак не выделяют - вот и здесь его заменили на x.

angel_18

Насколько я понял, задача должна формулироваться вообще без слова "Лагранжиан"
Дана функция и ортогональное преобразование. Что значит, что функция инвариантна.

fatality

если бы это было так (и требовалось бы проверить, скажем, релятивистскую инвариантность x был бы подвергнут не ортогональному, а псевдоортогональному преобразованию
и лагранжиан выглядел бы по-другому

angel_18

Ну да, странно немного. Условия пртиворечивы - либо Лагранжиан не к месту, либо Лоренцовская инвариантность.

fatality

в данном случае это жаргон - подразумевается инвариантность, грубо говоря, поля, те потенциальной части, относительно поворотов с отражениями
сами же уравнения Лагранжа, как известно, записываются одинаково во всех криволинейных координатах=)

fatality

неверно, кстати - здесь
В ответ на:
(dY'/dX)^2
в нерелят. (неполевом) случае должна быть просто сумма квадратов производных координат по времени - дифференцирования по пространственным координатам здесь быть не должно

asics167

Если я правильно поняла, что у Y' нет штриха, то ты просто написал то же выражение, только с y=Y(X) вместо y=y(x). Если есть внятные идеи, что с этим дальше делать - напиши, плиз.

asics167

Похоже, зря я пыталась упростить запись. Перейдем к громоздким формулам.
Короче, задача из теорпола.
Возьмем лагранжиан свободного скалярного вещественного поля.
L = \partial d _\mu \phi \partial d ^\mu \phi - m^2 \phi^2.
Ну еще на 1/2, чтобы никого не смущало.
\phi = \phi (x) -- полевая функция.
A - 4хмерная матрица из группы Лоренца. х - из пространства Минковского М^4.
Про все это тот же вопрос.

asics167

Ну или что уравнение Клейна-Гордона инвариантно относительно группы Лоренца, если кому это проще.
Туплю над этим - не могу. А казалось бы, вполне невинная формулировка.
Вопросы возникают, когда конкретно пытаюсь это проделать.

fatality

как вижу, вопрос все еще стоит - только теперь в уточненной релятивистской форме
инвариантность означает, что уравнение КФГ и лагранжиан свободного скалярного вещ. поля переходят в себя при преобразованиях из гр Лоренца
релятивистская инвариантность даламбертиана (из левой части КФГ) общеизвестна и доказывается либо непосредственной заменой переменных в операторах дифференцирования с учетом свойств матричных элементов псевдоортогональных матриц (используйте немые индексы, оч компактно получится либо обращением к Ландау-Лившицу.
само скалярное поле преобразуется проще некуда f'(x')=f(x) (собственно, потому, что оно скалярное
и не сердитесь, что все объяснения выше касались классической лагранжевой механики - ведь первоначально вы писали про ортогональные матрицы

asics167

я вовсе не собиралась ни на кого сердится, наоборот,
спасибо за помощь !
После обдумывания всего более основательно (и на свежую голову стало понятно, что инвариантность КФГ у меня действительно вопросов не вызывает. Но в моей задаче про спинорное поле это не сильно помогает, там штука в другом...
В любом случае, мысли нужные появились =)

drudru

Берешб - и подсавляешь! В новых координатах уравнение должно сохранить свой вид
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: