Задача олимпиадная по математике

Tfrn

Дан выпуклый равносторонний, со стороной = 1, пятиугольник.
Докажите, что из него можно вырезать правильный треугольник со стороной = 1.

zuzaka

что значит "врезать"? вырезать?
аа, он не обязательно правильный

djdf

эээ...могу,конечно,ошибаться, но т.к. угол в пятиугольник между соседними сторонами 72гр, а у правильного треугольника 60гр, то...где лопата или доп.условие в задаче?

Tfrn

Спасибо, уже исправил опечатку.
Пятиугольник естественно не обязан быть правильным, в условии ВСЕ сказано.

djdf

Ну тогда найдутся стороны, между которыми больше чем 72 градуса, там и режем...

Tfrn

Равносторонний пятиугольник — не значит правильный пятиугольник.
Думал, что в условии такие мелочи не стоит писать.


,конечно,ошибаться, но т.к. угол в пятиугольник между соседними сторонами 72гр, а у правильного треугольника 60гр, то...где лопата или доп.условие

djdf

имеется ввиду периметр=1? или что? если все стороны по 1 см.выше

Tfrn

Ну это просто идея без реализации, а не доказательство.
В твоих рассуждениях нигде не присутствует то, что это нечетно-угольник
Таким же образом можно "доказать" задачу и для равностороннего шестиугольника, а он вырождаться может. Так что надо еще доказать, что треугольник не "зарежется".
Кстати, эта задача мне и понравилась тем, что одновременно важна выпуклость и нечетность.
Задачу можно обобщить на любой равносторонний нечетно-угольник.

Tfrn

Каждая сторона в данном выпуклом равностороннем пятиугольнике равна 1.

zuzaka

Возьмем любую сторону AE 5угольника ABCDE.
Если на ней нельзя построить правильного треугольника, врезанного в ABCDE, значит, угол A < 60 (все в градусах BE < 1.
Угол BEE'<120, где E' - продолжение луча AE за точку E.
EBB'<120 (аналогично)
угол D достигает минимума при D in AE' и превышает 60, т.к. A<60, AB=DC=CD=1/2AD.
Т.е. D>60
аналогично C>60
=> на DC можно построить правильный треугольник

griz_a

Если на ней нельзя построить правильного треугольника, врезанного в ABCDE, значит, угол A < 60 (все в градусах BE < 1.
Почему? Может три оставшихся стороны твой треугольник пересекают?

zuzaka

Тогда пятиугольник не будет выпуклым

Zoltan

попробуй своё "доказательство" для ромба условия те же

Tfrn


 Возьмем любую сторону AE 5угольника ABCDE.
Если на ней нельзя построить правильного треугольника, врезанного в ABCDE, значит, угол A < 60 (все в градусах BE < 1.
 
Не значит, а значит дальше не читаем
Вообще-то я не обязан контр-примеры на все рассуждения приводить (в любом случае, каждое "значит" надо обосновывать).
Но приведу контр-примерчик для разминки.
Берем вырожденный (или очень близкий к нему) пятиугольник, так чтобы получился с виду равнобедренный треугольник (боковые ребра длины 2, а основание 1 берем сторону пятиугольника — с боковой стороны треугольника смежную с основанием треугольника — для нее не значит
Извиняюсь за текст — на картинке проще бы было.
 

Zoltan

что мне непонятно, так это зачем постить бояны, которым уже 30 лет?
http://kvant.mccme.ru/1974/06/resheniya_zadachnika_kvanta_ma...

zuzaka

Не те же
У ромба есть одна неприятная особенность: вырожденный "ромб" (треугольник) со сторонами 2-1-1 уже пересечет треугольник, в то время как вырожденный "пятиугольник" 2-1-1-1 - не пересечет

Zoltan

короче, вот эта строчка
Если на ней нельзя построить правильного треугольника, врезанного в ABCDE, значит, угол A < 60 (все в градусах BE < 1

гон

ARTi

думаю, идея такая:
1) должно быть два тупых угла, прилегающих к одной стороне
2) один из этих углов меньше 120 градусов (если оба больше, то оставшиеся две стороны не сомкнутся)
3) на этой стороне строим треугольник

zuzaka

берем сторону пятиугольника — с боковой стороны
неправильный контпример
в твоем "контрпримере" МОЖНО построить треугольник на этой стороне. И далеко не один.

zuzaka

Tfrn

Опа, не знал
Вообще-то мне эту задачу А.К.Ковальджи (директор лицея Вторая школа) рассказал...
Мы еще ее вместе решали...
А по какому запросу ты ее нашел в поиске — у меня не получилось

Zoltan

тренинги по поиску у меня платные

Tfrn


в твоем "контрпримере" МОЖНО построить треугольник на этой стороне. И далеко не один.
На стороне его построить нельзя, уголок заденет равнобедренный треугольник.
На стороне, если и можно построить, то только один треугольник.

zuzaka

да, ты прав. Если понимать "построить на стороне" так, как имел в виду я, то проблема тоже появляется.

ARTi

только пункты 1) и 2) надо заменить на
1') существует сторона, к которой прилегают углы больше 60 и меньше 120 градусов

Tfrn



пункты 1) и 2) надо заменить на
1') существует сторона, к которой прилегают углы больше 60 и меньше 120 градусов
не проходит построение.
контр-пример подходит

ARTi

как раз все проходит
та сторона, что описывается в пункте 1') и есть основание этого вырожденного пятиугольника
как раз из-зи этого примера и надо заменить 1) и 2) на 1')

iri3955

Есть три угла не меньше 60 градусов. Иначе - сумма углов < 180 * 2 + 60 * 30 = сумма углов 5иугольника.
Значит, какие-то 2 из них соседние. На стороне между ними, ясно-понятно, строится треугольник... вроде.

ARTi

ну вот и я про то же

Tfrn

та сторона что описывается в моем примере, тоже подходит по описание 1').
Значит для нее твои рассуждения должны проходить тоже — но они не проходят...

Tfrn

Да опять тот же пример, та же сторона подходит под твои условия, а треугольник на этой стороне не строится...

ARTi

бл$%ь, почему не проходят?
"выходит... и выходит... замечательно выходит! "
гыгы

Tfrn


1) должно быть два тупых угла, прилегающих к одной стороне
2) один из этих углов меньше 120 градусов (если оба больше, то оставшиеся две стороны не сомкнутся)
3) на этой стороне строим треугольник
только пункты 1) и 2) надо заменить на
1') существует сторона, к которой прилегают углы больше 60 и меньше 120 градусов
 
Итого получаем:
1') существует сторона, к которой прилегают углы больше 60 и меньше 120 градусов
3) на этой стороне строим треугольник
Вот тот пример который я приводил схематично:

Условие 1') выполняется.
Да такая сторона существует, но так как ни чего не говорится о том случае когда таких сторон несколько, то можно выбрать любую.
Для приведенной мной стороны: с одной стороны угол в 180 градусов, а с другой тоже больше 60 градусов.
Ни чего на этой стороне не строится, а под условие она подходит. Значит этого условия не достаточно.
А то что это необходимое условие — это и так понятно, ни кто не спорит.
Не думаю, что задачка вот так просто решится, много народу пробовало найти короткое решение...
 
 

ARTi

сорри, я думал, ты про основание говоришь

iri3955

Я не очень понял, с каких пор 180 < 120?

Tfrn

Да, это я не заметил (на вопрос то уже ответили, вот и расслабился но все равно не верю, что так просто решается.
Тогда не понятно без дополнительных рассуждений, почему условие 1') выполняется.

iri3955

условие 1' не всегда выполняется, к сожалению.

Tfrn

пример в студию

iri3955

Нда. Действительно, всегда есть. Тогда задача решена

Tfrn

Нет, не решена.
Решена она будет, когда будет доказано что всегда выполняется условие 1')

iri3955

Допустим не выполняется. Тогда есть 3 угла (не идущих подряд) каждый из которых либо >120 либо <60.
Пусть 5угольник ABCDE, A, B и D - соответствующие углы. A и B не могут быть одновременно >120 или <60 -
очевидно, поскольку тогда либо CE > 2 либо AE и BC пересекаются.
Пусть A < 60, B > 120. Будем увеличивать угол A, не меняя угол B. Тогда CE будет увеличиваться, значит
угол D - тоже. Будем увеличиваться, пока ситуация не нарушится (один из углов A или D не станет лежать между 60 и 120).
Поскольку оба угла увеличиваются, то есть только 2 варианта:
1. A стал равен 60. Тогда BCDE - ромб и угол CBE = углу CDE < 60. Угол ABE = 60, значит угол B (CBA) < 120. А он не менялся.
2. D стал равен 60. Тогда ABCE - ромб. Но угол AED < 180 (он не может стать больше - очевидно значит угол CBA = углу CEA < 120.
Всё плохо - противоречие.

Tfrn


 Допустим не выполняется. Тогда есть 3 угла (не идущих подряд) каждый из которых либо >120 либо <60.
Пусть 5угольник ABCDE, A, B и D - соответствующие углы. A и B не могут быть одновременно >120 или <60 -
очевидно, поскольку тогда либо CE > 2 либо AE и BC пересекаются.
Пусть A < 60, B > 120. Будем увеличивать угол A, не меняя угол B. Тогда CE будет увеличиваться, значит угол D - тоже. Будем увеличиваться, пока ситуация не нарушится (один из углов A или D не станет лежать между 60 и 120).
Поскольку оба угла увеличиваются, то есть только 2 варианта:
...
Да нет — 3 варианта!
Ты упустил случай, когда угол D > 120, но рассмотрел полностью случай когда угол D < 60.
Кроме того, в разобранных случаях угол A < 60 и угол D < 60 — но это невозможная конфигурация (не знаю как это проще доказать, быть может легче твой перебор привести, чтобы не париться при условии задачи.
 
Короткого доказательства в форуме пока не найдено!
А конструктивного тем более — в Кванте неконструктивно доказывается.

zuzaka

Последние 6 постов не читал, рассказываю то, что придумал ночью. Потом сравню с тем, что написали.
Итак. Два варианта: либо угла <60 нет, или есть.
1. Такого угла нет.
Тогда есть минимум два угла <120.
1а) они идут подряд. Два угла 60<угол<120 => на стороне между ними можно построить правильный треугольник, не пересекающийся с остальными сторонами.
1б) они чередуются. Тогда есть один угол >60, смежные углы с которым >120. В этом угле вырезаем 3угольник
2. есть угол < 60. // то есть меньше, конечно - здесь опечатка была
Тогда, как я показал выше (во втором моем посте в этом треде на противолежащей стороне можно построить треугольник.

ARTi

ну вот, застремал меня, а я был прав

Tfrn


Итак. Два варианта: либо угла <60 нет, или есть.
1. Такого угла нет.
Тогда есть минимум два угла <120.
1а) они идут подряд. Два угла 60<угол<120 => на стороне между ними можно построить правильный треугольник, не пересекающийся с остальными сторонами.
1б) они чередуются. Тогда есть один угол >60, смежные углы с которым >120. В этом угле вырезаем 3угольник
Не очень подробно написано, и возможно я упустил правильную трактовку.
До пункта 1б) все правильно, вопросов нет.
В пункте 1б) можно по разному понять рассуждения:
[1]
Так как не упоминается, каким образом выбираются два угла < 120, в случае когда их больше двух, то их можно выбирать произвольно.
Если так, то берем правильный пятиугольник и любые два его не смежных угла.
Углов < 60 нет, так что мы в пункте 1.
Два угла выбрали — попали в пункт 1б но он логически не выполняется.
Может быть возможно подкорректировать формулировку пункта 1б).
[2]
Если подразумевается, что ровно два угла < 120 (все другие углы >= 120 тогда нужно рассмотреть оставшиеся случаи: 1в)...

Может я и не прав, но в любом случае, нужно пояснить что имеется ввиду.
В остальном пока разбираюсь.

iri3955

Ты упустил случай, когда угол D > 120
Этот случай не нужно рассматривать. Он увеличивается, но 180 равен быть не может. Значит,
он никогда не войдёт в "плохое" положение.

zuzaka

угла < 120`, но не смежные
Значит, если один из них A (A<120` то его соседи - В и Е - больше 120`
Тогда в A можно вырезать правильный треугольник:
построим его на стороне AB: ABK.
это можно сделать, т.к. A>60`
ABC>120` (на самом деле, достаточно, чтобы он был больше 60`)
AED>120` (достаточно условия AED > 60` + A / 2 ) => ED не пересекает AK.
AD, AC > AK, BK = CD => BK не пересекается стороной CD. Следовательно, по аксиоме кого-то на букву Ш, CD вообще не пересекает треугольник ABK. Итак, из всех сторон только AB пересекает треугольник, и она совпадает с его стороной.

Tfrn

Дальше, случай 2 все верно, вроде.

Tfrn



В ответ на:
Ты упустил случай, когда угол D > 120
Этот случай не нужно рассматривать. Он увеличивается, но 180 равен быть не может. Значит,
он никогда не войдёт в "плохое" положение.

Что значит "не нужно рассматривать" — это же доказательство, все случаи нужно рассматривать или объяснять, почему их стоит отбросить...
Объяснение тоже ни куда не годится.
Во первых, то что угол D не может достигнуть 180 можно было и доказать или хотя бы упомянуть. Но это понятно.
А во вторых, угол D не достигнет 180, но угол А достигнет 60, так что процесс остановится (да даже если бы и не остановился — с какой стати отсюда может делаться вывод о том, что можно вырезать треугольник и в этом случае ни какого противоречия не выходит.

Tfrn

Это все понятно.
Вопрос такой:
Случай 1б) подразумевает, что только два угла < 120, а все остальные углы >= 120?

zuzaka

Да. иначе бы получилась (минимум одна) пара смежных углов <120

iri3955

А во вторых, угол D не достигнет 180, но угол А достигнет 60, так что процесс остановится, и в этом случае ни какого противоречия не выходит
См. пункт 1. A = 60.

ARTi

не читал ваши решения, вы уже решили?
или мне свое решение запостить?

iri3955

Я вроде как считаю, что решил... Но автор не согласен
Так что пость преспокойно

ARTi

) Пусть углов < 60 градусов ровно 2 (3 не может быть, будут соседние). Пусть A<60, C<60, тогда BE<1, BD<1, угол ABE>60, угол CBD>60 => угол EBD<60 => в треугольнике EBD сторона ED не наибольшая, но две другие стороны, как уже говорилось, меньше единицы => ED<1 - противоречие.
1) Пусть углов < 60 нет. Тогда
- либо есть >= 3 углов >120 градусов => среди них есть соседние => противоречие
- есть <= 2 углов > 120 градусов => есть >= 3 углов от 60 до 120 градусов => среди них есть соседние, на этой стороне и строим
2) Пусть теперь угол < 60 градусов есть.
а) Если углов больше 120 градусов не больше одного, то углов от 60 до 120 не меньше трех и все доказано.
б) Если углов больше 120 градусов 3 и больше, то есть соседние и противоречие

Итак, остался случай
в) Есть ровно один угол <60 и ровно два угла >120.
Пусть A>120, C>120. Если B <60, то углы E и D от 60 до 120 => сторона ED искомая.
Если же 60<B<120, то внутри угла B можно вписать треугольник. Объясню в след. посте

Perce

Интересный предельный случай:

ARTi

Итак, A>120, C>120, 60<B<120.

Строим правильный треугольник АВ В_1, надо доказать, что он внутрипятиугольника лежит. Ну это хз, подумать надо

Tfrn



А во вторых, угол D не достигнет 180, но угол А достигнет 60, так что процесс остановится, и в этом случае ни какого противоречия не выходит
См. пункт 1. A = 60.
Я то как раз смотрел, не проходят, там такие же рассуждения, там используется то, что увеличенный угол D < 60...

Tfrn

Да, этот случай сводится к уже разобранному.
Решение принято.
Но я еще посмотрю, может пропустил чего.
Спасибо.

iri3955

Хммм. Действительно... Тогда так. Угол D в этом случае <= 120, так как иначе угол CBE больше 120 И угол ABC > 180.
Чего быть не могло

Tfrn

Ха, выкрутился
Решение принято.

Уже принято второе решение — кто нибудь может проверить их, а то я мог что то пропустить.

Сейчас третье решение почитаю.

ARTi

оно как раз и не доделано, если ты о моем

Tfrn

похоже тоже решил.
Думаю, что можно доделать...

Всем спасибо.
Правда, за правильность решений не ручаюсь.
Так что, если кто найдет пробелы или ошибки в доказательствах, буду признателен.

еще осталась.

Кстати, когда учился — мы решали такие задачки на спор (символически) за шеколадку или бутылку пива (кому что больше нравится). Может возобновить традицию?

Например, я так представил евклидову плоскость в в виде дизъюнктного объединения отрезков длины 1 и 2. Правда потом кто-то сумел замостить плоскость отрезками длины 1.

vit-makovey

чуть хитрее: отрезок - континуальное дизьюнктное обьединение канторовских множеств.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: