аналитическое вычисление запасов устойчивости

shale60

Добрый день!
Предположим, у нас есть передаточная функция, имеющая 2 комплексно сопряженных полюса.
Каким образом можно выписать аналитическую зависимость для запаса устойчивости по амплитуде и фазе?
Поверхностное копание ни к чему не привело

shale60

Быть может, кто-нибудь посоветует хорошие форумы по теории управления? (российских я особо не нашёл, так что ищу англоязычные)

sashok01

у меня есть ощущение, что ответ на твой вопрос очень простой и получается прямо из условия задачи. Дай математическую постановку, чтобы разобраться с терминами, которые ты используешь.
Т.е. какая система у тебя есть, какими свойствами она обладает, что требуется посчитать.

sashok01

вот тут есть что-то
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CB%C0%D4%D7%D5
Для определения устойчивости замкнутой системы строится ЛАФЧХ разомкнутой системы (см. рис.). После этого необходимо найти частоту среза ωср, решив уравнение A(\omega_{cp})=0 (здесь и далее A(\omega)=20\lg|W(j\omega)|; если корней несколько, необходимо выбрать наибольший корень и частоту ωв — максимальную из частот, для которых \varphi(\omega)=-180^\circ. Тогда \Delta A=A(\omega_B) — запас устойчивости по амплитуде (обычно требуется не ниже 12 дБ \Delta\varphi=\varphi(\omega_{cp})+180^\circ — запас устойчивости по фазе (обычно требуется не ниже 30°). Если эти запасы отрицательны, то замкнутая система неустойчива; если равны нулю — находится на границе устойчивости.

shale60

Спасибо.
В общем, удалось вот что найти:


, Где T(s) - передаточная функция системы
Но считать это достаточно противно даже для системы второго порядка вида [math]W(s)=\frac{ps+q}{as^2+bs+c}[/math]

shale60

Более того, я не могу решить уравнение arg z= -pi (z=x+iy=W(iw) (x и y я нашёл)
У нас же аргумент принимает значения (-pi,pi] , не так ли?
Вон, смотрю, вольфрам альфа согласна со мной (http://www.wolframalpha.com/input/?i=arg%28z%29%3D-pi ) , но где же я туплю?
Аргумент равен именно -пи в двух источниках, так что точно опечатки нет

sashok01

летчик.jpg
утро вечера мудреней

sashok01

напиши ещё раз, что у тебя за система. Дай математическую постановку

shale60

Почему-то тех не пропарсился
T(s)=\frac{ps+q}{as^2+bs+c}
Нужно найти запасы устойчивости по фазе и амплитуде для динамической системы, описываемой T(s)
Я нашёл, как это сделать, в двух источниках:


PM - запас устойчивости по фазе
GM - по амплитуде
Я могу решить второе уравнение для PM, т.к. найти модуль |T(iw)| не представляет проблемы
А вот найти такое w, что arg(T(iw = -pi - я не могу

sashok01

пробуй тогда +Pi
-Pi и +Pi - одно и то же
это эквивалентно Im(T(jw =0, Re(T(jw<0
Пример для T(s)=(s+5)/[(s-(2+is-(2-i]:
 wolframalpha
У меня получилось T(iw) = (p*iw+q)/(-aw^2 + ibw +c) = (p*iw+q) * (c-aw^2 - ibw )/[(-aw^2 + ibw +cc-aw^2 - ibw )]={[q*(c-aw^2)+p2w^2] +i*[pw*(c-aw^2) - qbw]}/{b^2w^2 + (c-aw^2)^2}
Im[T(iw)]=0 <=> pw*(c-aw^2) - qbw =0 <=> [w=0; pc-paw^2 -qb=0] <=> [w=0;w^2 =c/a-qb/(pa) ]

shale60

Спасибо!
Да, похоже на правду, буду проверять вечером
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: