Теорема Больцано-Вейерштрасса только для чисел и R_n?

philnau

сабж

stm7543347

chmax

для C наверное еще верно

seregaohota

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Теоре́ма Больца́но — Вейерштра́сса гласит, что
Из любой ограниченной числовой последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Теорема справедлива как для вещественных, так и для комплексных чисел. Она также справедлива для последовательностей точек n-мерного евклидова пространства.
[править] Доказательство
Ниже приведён набросок доказательства для вещественной прямой (этот вариант доказательства называют метод Больцано или метод деления пополам):
Так как последовательность ограничена, то существует отрезок, содержащий все an.
Разделим его пополам. Выберем тот, который содержит бесконечное число членов последовательности. Если оба содержат бесконечное число членов последовательности, то выберем один из них.
Продолжим деление отрезков по индукции.
Получим последовательность вложенных отрезков, которая по построению стягивающаяся, следовательно, имеет одну общую точку.
Далее построим подпоследовательность, чтобы k-й элемент содержался в отрезке определённом на k-ом шаге. Так как в любом таком отрезке содержится бесконечное число an, это возможно.
Полученная подпоследовательность имеет предел.
[править] История
Эта теорема доказана чешским математиком Больцано в 1817 году, позже она была независимо получена Вейерштрассом.

natali22061979

Видимо, может быть не верно в любом бесконечномерном пространстве. Там можно построить бесконечную ограниченную последовательность элементов пространства, из которой тем не менее нельзя выделить подпоследовательность, которая бы при этом сходилась. Например, можно ограничить норму единицей, а сами элементы брать - как единичные орты базиса в пространстве. Их количество будет бесконечным, а сходимости при этом к какому-то элементу пространства не наблюдается.

philnau

Т.о. поолучается, что для чисел.
Просто мы сначала думали о любот полном метрическом про-ве, но затем поняли что это неверно и начали тупить
Всем пасиба.

goga7152

Сообщение удалил

Lokomotiv59

для любых метрических компактов

Lene81

компактов
+1
Собственно, это их определение - что из точек компакта всегда можно выбрать сх. последовательность.

soldatiki

+1
Собственно, это их определение - что из точек компакта всегда можно выбрать сх. последовательность.
Неправда! Из любой _направленности_ можно выбрать сходящуюся _поднаправленность_. Это эквивалентно последовательностям для некоторых пространств, например, где верна вторая аксиома счетности. Но вообще, понятия существенно разные.

soldatiki

По-моему, это прямое обобщение теоремы Б.-В.
Не совсем. Все же, сверхограниченность существенно более сильное требование, чем просто ограниченность.
Пространства, где верна теорема Больцано-Вейерштрасса, так и называются: "пространства со свойством Больцано-Вейерштрасса". К этому классу относятся в том числе и некоторые бесконечномерные векторные пространства, например счетномерное гильбертово со слабой топологией, а также пространства обобщенных функций.

roza200611

лично мне стыдно за мгу!

lena1978

теорема Больцано-Вейерштасса утверждает, что замкнутое ограниченное множество в R^n является компактом.

shpanenoc

Мне, почему-то, казалось, что есть два определения компакта. Компакт - это множество, для которого
1. Из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
2. Из любой последовательности элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
В топологии доказывается, что для более-менее приличных пространств эти определения эквивалентны. Ну, то есть, я никогда не вынужден был работать с противным случаем.
2 : Я, к примеру, не знаю численности потерь российской армии в Отечественной войне 1812 года, так что, я тоже МГУ позорю?
2 . Мне кажется, говорить "неправда!" не очень-то правильно. На каком-то определенном уровне (например, на моем, уровне 5-го курса ВМиК) ни о каких направленностях не идет и речи, так что формулировка вполне себе ничего. Я в школе был уверен, что неравенство Коши-Буняковского это x1*y1+x2*y2 <= sqrt(x1^2+x2^2)*sqrt(y1^2+y2^2).
P.S. Пардон, если наделал глупых ошибок, лето все-таки

svetik5623190

Мне, почему-то, казалось, что есть два определения компакта. Компакт - это множество, для которого
1. Из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
2. Из любой последовательности элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
1 это компактность
2 это секвенциальная компактность
1 влечёт 2 но не наоборот.
В одной из терминологий слова "компакт" и "компактное топологическое пространство" имеют разный смысл, а именно, под компактом понимается хаусдорфово компактное ТП. Но мне эта терминология не нравится.

griz_a

Во-первых, второе неправильно сформулировано, это предкомпактность в такой форме.
Во-вторых, эти две штуки действительно называют топологическая и метрическая компактность.

griz_a

В топологии доказывается, что для более-менее приличных пространств эти определения эквивалентны. Ну, то есть, я никогда не вынужден был работать с противным случаем.

Если более-менее приличные - это до R^{inf}, то да. Но вообще топологичность строго сильнее

lena1978

1 влечёт 2
всегда?

griz_a

Да, если есть метрика

lena1978

да
а, 2 => 1 если есть счетная база
но теорема Б-В сама по себе не устанавливет таких связей, она выражет свойство ограниченных множеств в R^n быть автоматически вполне ограниченными.

svetik5623190

Минуточку. Если придерживаться терминологии, которой придерживаюсь я:
Мне, почему-то, казалось, что есть два определения компакта. Компакт - это множество, для которого
1. Из любого покрытия его открытыми множествами можно выделить конечное подпокрытие.
2. Из любой последовательности элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

1 это компактность
2 это секвенциальная компактность
1 влечёт 2 но не наоборот.
то действительно 1 влечёт 2, всегда.
Утверждение. Пусть А - компактное в смысле 1 топологическое пространство. Пусть а_к - последовательность точек в А. Тогда существает сходящаяся подпоследовательность а_к_р, т.е. в пространстве А существует такая точка, что для любой открытой окрестности которой и для любого номера s есть хотя бы одна точка последовательности а_к с номером больше s и лежащая в этой окрестности.
Доказательство.
Если а_к имеет стационарную подпоследовательность, т.е. принимает какое-то значение бесконечно много раз, то эту подпоследовательность и возьмём в качестве искомой.
Пусть теперь а_к все значения принимает лишь конечное число раз. Докажем от противного, что тогда в пространстве А существует точка, в любой открытой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка последовательности а_к . Пусть такой точки нет. Тогда у каждой точки множества А есть открытая проколотая окрестность, не содержащая точек а_к. Эти окрестности (если добавить выколотую точку к каждой) образуют открытое покрытие А. Выберем из него конечное подпокрытие. Получается, что всё множество А покрыто конечным числом множеств, в каждом из которых есть ровно одно значение последовательности а_к. Поскольку а_к - бесконечная последовательность, то хотя бы одно из конечного числа своих значений она принимает бесконечно много раз. Противоречие с отсутствием стационарной подпоследовательности.
Криво как-то оформлено, но идея надеюсь ясна.
Кстати, мне кажется что называть 2 имхо правильнее именно секвенциальной компактностью, от слова sequence - последовательность.

narkom

Кстати, мне кажется что называть 2 имхо правильнее именно секвенциальной компактностью, от слова sequence - последовательность.
это не только твое имхо

svetik5623190

Да вот ФрауСоболева спорит...
Во-первых, второе неправильно сформулировано, это предкомпактность в такой форме.
Во-вторых, эти две штуки действительно называют топологическая и метрическая компактность.
Ещё и говорит что метрика нужна чтобы из 1 следовало 2....
Потому и пишу что имхо.

griz_a

Хей! А что такое 2 без метрики? Ты сходимость топологическую предлагаешь?

svetik5623190

да
а, 2 => 1 если есть счетная база
в точке.
Т.е. 1я аксиома счётности, вторая вроде не нужна. Если топология порождена метрикой, то счётная база в точке есть (шары 1/n)

lena1978

в пространстве А существует точка, в любой открытой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка последовательности а_к .
и как отсюда следует, что можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к этой точке?

lena1978

нет, здесь я имел в виду счетную базу пространства

lena1978

ну короче,
из секвенциальной компактности следует счетная компактность (из счетного покрытия можно выбрать конечное). чтобы дополнить ее до нормальной компактности можно потребовать, например, счетную базу пространства.
из счетной компактности (которой, естественно обладают все компактные пространства) следует секвенциальная компактность, если потребовать T_1 и первую аксиому счетности.

svetik5623190


Хей! А что такое 2 без метрики? Ты сходимость топологическую предлагаешь?
Конечно. Разве это не видно из того доказательства, которое я привёл? Кстати оно верное?

svetik5623190

В ответ на:
в пространстве А существует точка, в любой открытой проколотой окрестности которой есть хотя бы одна точка последовательности а_к .
и как отсюда следует, что можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к этой точке?
Возьмём все проколотые окрестности данной точки, в каждой выберем по точке. Если окрестностей бесконечное число, то получили подпоследовательность (я не противник аксиомы выбора).
Если же окрестностей конечное число, то скорее всего топология такая слабая что сходится почти любая последовательность Но на самом деле да, неувязочка получается...
Устал я очень, спать хочу. Если кому не влом - заштопайте пожалуйста эту дырку или предложите другое доказательство

lena1978

а если окрестностей несчетное количество?

svetik5623190

а если окрестностей несчетное количество?
Это как раз не проблема, главное чтоб в каждой нашлась точка последовательности, а дальше по аксиоме выбора выберем нужную подпоследовательность.
Дырка у меня в случае если окрестностей конечное число

Irina_Afanaseva

Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

не только в конечномерных.
Бурбаки "Топологические векторные пространства"

lena1978

Это как раз не проблема, главное чтоб в каждой нашлась точка последовательности, а дальше по аксиоме выбора выберем нужную подпоследовательность.
сразу видно - мехмат, помахать руками, сослаться на аксиому выбора, очевидность и т.п. а ты докажи, что выбранная подпоследователоьность будет удовлетворять определению сходящейся к некотрой точке.

svetik5623190

сразу видно - мехмат, помахать руками, сослаться на аксиому выбора, очевидность и т.п. а ты докажи, что выбранная подпоследователоьность будет удовлетворять определению сходящейся к некотрой точке.
Всё что я пишу здесь - не более чем импровизация/воспоминания. Более подробно см. в книге Д.А.Гудков, Общая топология. Издательство Нижегородского Университета им. Лобачевского. Отличная книга, всем рекомендую, там очень хорошие подробные доказательства без дыр и лажи (у меня наверняка и то и другое есть ) Для первого чтения куда лучше чем Бурбаки. К сожалению, книга сейчас не под рукой, иначе не мудрил бы а сразу написал доказательство теоремы с нормальной формулировкой оттуда.

svetik5623190

Кстати я перечитал своё доказательство и что-то не очень понял где возникают трудности. Правда я сейчас очень-очень устаю на работе, вообще ничего не соображаю от усталости. могу поэтому ошибаться.
Может просто приведёшь свой вариант доказательства, короткий, красивый и прозрачный, а мы все прочтём, убедимся какой он классный и сразу согласимся?

lena1978

да хорош тупить, твое доказательство не содержит ошибок (вроде только оно не доказывает то, что нужно было доказать. доказывается, что у последовательности есть предельная точка, но из этого не следует, что из последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. для этого надо от пространства потребовать быть пространством Фреше-Урысона. В частности, нам подходят пространства с первой аксиомой счетности.
я уже писал это условие выше, но ты читаешь только свои посты.

svetik5623190

Зачем так агрессивно? Я просто очень-очень устал за последние полтора месяца, если чего-то не замечаю, то уж не серчай.
Можно пример последовательности, имеющей предельную точку, но не имеющей ни одной подпоследовательности, сходящейся к этой точке?

lena1978

Можно пример последовательности, имеющей предельную точку, но не имеющей ни одной подпоследовательности, сходящейся к этой точке?
Возьмем объединение счетного числа попарно непересекающихся счетных дискретных множеств X_i. Прибавим еще одну точку *, не принадлежащую этим множествам. Такое построение можно провести, например, на отрезке. Топология задается так: точки из X_i изолированы, база окрестностей точки * состоит из множеств вида X минус конечное число множеств X_i и минус конечное число точек во всех оставшихся множествах X_i.
Рассмотрим последовательность X\*. В любой окрестности точки * содержатся точки этой последовательности, т.е. точка * является предельной точкой последовательности.
Теперь возьмем какую-нибудь ее подпоследовательность Ы. Есть две возможности:
1) Подпоследовательность не пересекается ни к одним X_i по бесконечному множеству. Тогда множество X\Ы будет окрестностью точки *. Следовательно сходиться эта подпоследовательность к * не может.
2) Подпоследовательность пересекается с некоторым X_i по бесконечному множеству. Тогда для любого номера N будет существовать член подпоследовательности с номером бОльшим N лежащий в X_i. Возьмем у точки * окрестность X\X_i, по выше сказанному существует член со сколь угодно большим номером, не попадающий в эту окрестность. Т.е. * не будет пределом этой подпоследовательности.
Пример взят из книги Р.Энгелькинг "Общая топология" (правда я его немного покоцал, может и налажал ).
PS. Приведенное пространство не будет, конечно, компактом. Но существуют компакты без первой аксиомы счетности, которые не содержат подпространств, гомеоморфных сходящейся последовательности.

svetik5623190

Возьмем объединение счетного числа попарно непересекающихся счетных дискретных множеств X_i. Прибавим еще одну точку *, не принадлежащую этим множествам. Такое построение можно провести, например, на отрезке. Топология задается так: точки из X_i изолированы, база окрестностей точки * состоит из множеств вида X минус конечное число множеств X_i и минус конечное число точек во всех оставшихся множествах X_i.
Рассмотрим последовательность X\*. В любой окрестности точки * содержатся точки этой последовательности, т.е. точка * является предельной точкой последовательности.
Теперь возьмем какую-нибудь ее подпоследовательность Ы. Есть две возможности:
1) Подпоследовательность не пересекается ни к одним X_i по бесконечному множеству. Тогда множество X\Ы будет окрестностью точки *. Следовательно сходиться эта подпоследовательность к * не может.
2) Подпоследовательность пересекается с некоторым X_i по бесконечному множеству. Тогда для любого номера N будет существовать член подпоследовательности с номером бОльшим N лежащий в X_i. Возьмем у точки * окрестность X\X_i, по выше сказанному существует член со сколь угодно большим номером, не попадающий в эту окрестность. Т.е. * не будет пределом этой подпоследовательности.
Пример взят из книги Р.Энгелькинг "Общая топология" (правда я его немного покоцал, может и налажал ).
Спасибо. Да вроде не налажал Те окрестности действительно образуют базу некоторой топологии в точке так что вроде всё ок.
PS. Приведенное пространство не будет, конечно, компактом. Но существуют компакты без первой аксиомы счетности, которые не содержат подпространств, гомеоморфных сходящейся последовательности.
Не понял. Какая же топология у сходящейся последовательности? Что имеется в виду?

lena1978

Какая же топология у сходящейся последовательности? Что имеется в виду?
я имел в виду обычную счетную последовательность взятую вместе с пределом
Все точки кроме предела изолированы, а у предела базу окрестностей образуют дополнения к конечному числу членов последовательности.

svetik5623190

Теперь ясно. Спасибо.

lenmas

Сообщение удалил

lena1978

не понял ничего
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: