Задача по слупам

a19782ov

Надо посчитать мат ожидание:
a) EW_y)^2 (sup_{t\in[x,y]} W_tгде x=2, y=5
б)EW_ysup_{t\in[x,y]} W_t)^2) , где x=6,y=8
W- винеровский процесс.

ssz1977

Люди, помогите решить эту задачу пожалуйста!

griz_a

Еще актуально?
Могу рассказать идею, а ты скажешь, если чего непоyятно.
Считаем P(W_{y-x} in da,sup(W_t, t in (0,y-x in db) c помощью предельного перехода от случайного блуждания (для него совместное распределение максимума и последней точки находится по принципу отражения). После этого пользуемся тем, что
EW_y)^2 (sup_{t\in[x,y]} W_t=int{c in (-inf,inf}} (EW_{y-x}+c)^2*(c+sup(W_t, t in (0,y-x*P(W_x in dc)

griz_a

Сперва посчитаем совместную функцию распределения максимума на отрезке и значения в крайней справа точке для броуновского движения
Посчитаем P(W_{y-x} in da,sup(W_t, t in (0,y-x>b)
Воспользуемся "принципом отражения" - возьмем последний момент s пересечения траекторией уровня b на (0,y-x) и симметрично отразим относительно W_s дальнейшее движение. То есть мы до s оставляем ее такой же, а дальше отражаем симметрично вверх. Тогда она будет с W_{y-x}=2b-a. При этом преобразование траекторий взаимно однозначное, т.к. если траектория имеет супремум больше b, то момент последнего пересечения уровня b есть и определен однозначно, и, наоборот, если траектория идет в 2b-a, a>b, то последний момент пересечения уровня b есть и определен однозначно. Имеем взаимно однозначное преобразования траекторий винеровского процесса, при этом, вероятность P(W_{y-x} in da,sup(W_t, t in (0,y-x>b)=P(W_{y-x} in d(2b-a т.к. нормальная плотность симметрична, а мы делали только преобразование, меняющее знак приращения (это не совсем строгое обоснование, но тем не менее распределенного нормально.
P(W_{y-x} in da,sup(W_t, t in (0,y-x>b)=P(W_{y-x} in d(2b-a при a<b и 1 при a>=b, где dx - "бесконечно малая" окрестность точки x. Это просто обозначение для плотности, т.е
P(W_{y-x} in d(2b-a=N_{y-x}(2b-a где N - нормальная плотность с дисперсией y-x в точке 2b-a
Теперь выведем формулу для нашего матожидания:
PW_y)^2 (sup_{t\in[x,y]} W_t) in da)=int_{b in (-inf,inf)} (PW_y)^2 (sup_{t\in[x,y]} W_t) in da, W_x in db) = //предыдущий переход по формуле полной вероятности // = int(P(W_x in db) PW_{y-x}+c)^2*(c+sup(W_t, t in (0,y-x in da) = // А этот был исходя из независимости W_y - W_x и W_x и того, что W_y-W_x распределено также, как и W_{y-x}//
Дальше мне писать уже некогда, так что рассказываю ход рассуждений.
PW_{y-x}+c)^2*(c+sup(W_t, t in (0,y-x in da) считается из того, что совместная плотность
P(W_{y-x} in da, sup(W_t, t in (0,y-x) in db) из того, что я писал вначале, равна
-d/db (N_{y-x}(2b-a (это потому, что там у супремума было больше b, т.ч это было 1-(функция распределения чтобы стало плотностью, надо продифференцировать)
Теперь надо считать
int_{c in (-inf,inf)} (int (P(W_{y-x} in da, sup(W_t, t in (0,y-x) in db)*a+c)^2*(c+bdadb dc.
Это просто из определения матожидания от функции двух случайных величин
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: