Вещественные числа через пополнение Q: где почитать?

tester1

Подскажите плиз книгу, в которой вещественные числа вводятся как пополнение множества всех рациональных чисел по метрике r(x,y)=|x-y|.

vtdom79

ну скомпилируй и опубликуй, если нету. Думаю, интересно будет

mtk79

а разве бывает другое определение R ?

Vlad128

Сечения, тупо бесконечные дроби (последовательности).

BSCurt

Через аксиомы, а потом доказывать что это тоже самое что и пополнение.

tester1

а разве бывает другое определение R ?
Будем считать известным множество всех \textit{действительных} \textit{чисел} $\mathbb{R}$, с конструкцией которого можно быстро и качественно ознакомиться по учебнику \cite{Fihtengolc}. Напомним, что его можно ввести аксиоматически \cite{Zorich}, а также предъявить несколько множеств, удовлетворяющих этим аксиомам. Все эти множества являются моделями множества $\mathbb{R}$, на практике может быть удобна та или иная модель в зависимости от решаемой задачи. Модели $\mathbb{R}$ могут быть построены на основе следующих объектов: дедекиндовы сечения множества всех рациональных чисел \cite{Fihtengolc}, бесконечные вправо $m-$ичные дроби ($m\geq 2$) \cite{Fihtengolc}, прямая в геометрии \cite{Zorich}, цепные $m-$ичные дроби ($m\geq 2$) \cite{Hinchin}, фундаментальные последовательности рациональных чисел.

mtk79

прямая в геометрии — это ЛОЛ. Это построение R в терминах R^2
фундаментальные последовательности рациональных чисел без аксиомы сходимости (собственно, пополнение) это тоже ЛОЛ

Sergey79

Так ведь R^3 (и его модельное упрощение R^2) и есть фундамент. А R - это уже затем вводимая (куда?) мысленная абстракция!

tester1

прямая в геометрии — это ЛОЛ.

?
См. в Зориче (1 том) страницу 62.
Это построение R в терминах R^2

Это ты аллегорию в целях иронии строишь или что?
фундаментальные последовательности рациональных чисел без аксиомы сходимости (собственно, пополнение) это тоже ЛОЛ
что за аксиома сходимости?

natalim

ну все. гонобобель, ты меня заразил, ушла с полки диски с учебниками доставать.

tester1

:D

ulia06

хм... нам на функане так и рассказывали. Правда, всего лишь в качестве иллюстрирующего примера, но все ж.

natalim

Пока ничего не нашла. Зато прочитала душещипательные истории о том, как Кронекер гнобил Кантора. В результате чего у Кантора под конец совсем крыша поехала, и началось биполярное расстройство (а может, всегда и было)
Причем Кантор для математики, наверное, поболе, чем Кронекер сделал, да?
...форумчане, давайте любить друг друга :D

lenmas

ну все. гонобобель, ты меня заразил, ушла с полки диски с учебниками доставать.
А может покусал? У тебя на ногах следов от зубов нет? ;)

tester1

Кстати, при построении R из Q напрямую применять к Q теорему о пополнении нельзя, потому что в её доказательстве используется полнота R. Надо было бы мне об этом с самого начала написать. Собственно, из-за этого обстоятельства вопрос как раз и перестаёт быть праздным.

lenmas

Что за бред? R-то еще не построено, как можно использовать полноту R?
Тут правильно писал силиконовый конец, что R --- это множество фундаментальных последовательностей из Q
с отношением эквивалентности соответствующим. Прямо как в доказательстве существования пополнения
произвольного метрического пространства.

tester1

R-то еще не построено, как можно использовать полноту R?
Вот я об этом и говорю. Говорить, что "по определению R это существующее согласно теореме о пополнении пополнение Q" некорректно, так как в доказательстве теоремы о пополнении используется полнота R. Да и само R используется в определении метрического пространства.

lenmas

так как в доказательстве теоремы о пополнении используется полнота R
Да, что-то я об этом не подумал.
А разве там нельзя ограничиться рациональными епсилонами в разных определениях?
Ща гляну в доказательство.

lenmas

Да, там в определении расстояния между двумя фундаментальными последовательностями используется
фундаментальность (ведь расстояние есть величина тоже из R).
Наверное, все же отношение эквивалентности можно ввести и без введения этой полуметрики (например,
говоря, что две фундаментальные последовательности эквивалентны, если перемешанная последовательность тоже фундаментальна
а потом уже из стандартного доказательства следует, что последовательность d(x_n,y_n где {x_n} и {y_n} ---
две фундаментальные последовательности, представляющие два действительных числа, тоже фундаментальна, а значит определяет неотрицательное действительное число, которое и назовем расстоянием между действительными числами.
Правда, все это нужно конечно же аккуратно записать, а то опять какая-нибудь интимная подробность выяснится :grin:

lenmas

Кстати, вот тут http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%BE%D0%BD%D1%81%D1%82%...
пишется, что теория действительных чисел через фундаментальные последовательности называется канторовской.
Это по сути дела и есть процедура пополнения Q.

tester1

Правда, все это нужно конечно же аккуратно записать, а то опять какая-нибудь интимная подробность выяснится
Да наверняка уже всё где-то записано, вот и ищу, где, чтобы ссылку на этот источник проставить и не париться самому объяснять сабж.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: