вопрос про внешнюю производную

491593

Если есть к-форма со значениями в расслоении с неплоской связностью, то какой геометрический смысл внешней производной, интеграл то уже не определен.
Или и нет никакого геометрического смысла?

svetik5623190

Я обычно физический/геометрический смысл математических понятий пытаюсь подобрать, обкатывая их на простых объектах. Попробуй.

paoook

Госсподи, я вроде и мехмат окончил, но ни хрена не понял :shocked:

farfey

Я хоть и не оканчивал мехмат, но вопрос все равно не понял. Как вообще определенность/неопределенность интеграла влияет на геометрический смысл внешней производной?

491593

инвариантное определение: внешняя производная, это такая форма, что интеграл по границе на любом вложенном к-подмногообразии от изначальной формы равен интегралу от внешней производной ( теорема Стокса короче).
Если значения формы в расслоении с неплоской связностью то интеграл неопределен даже локально - как суммировать значения в разных точках то.
Но вопрос уже снят.

ulia06

Но вопрос уже снят.
так напиши ответ :) а то заинтриговал, понимаешь, - и в кусты

491593

Ну , интегрального геометрического смысла нет, поскольку интеграл неопределен.
Можно попробовать напрямую, как для обычных форм : берется (к+1) вектора в касательном пространстве к точке и любым способом продолжаются до коммутирующих векторных полей в окрестности. Можно брать не обязательно коммутирующие, но тогда появятся дополнительные слагаемые чтобы основной символ уничтожить. Короче будем считать, что поля коммутируют.
А дальше происходит следующее -эти коммутирующие поля локально корректно определяют маленький (к+1)-мерный параллелепипед ( назовем это так) на многообразии.
к-мерные грани этого параллелепипеда можно считать наборами векторов ( ребер) из касательных пространств в соответствующих точках. А значит на них определена наша к-форма, а также разность значений этой к-формы на противоположных гранях. Эта разность корректно определена путем параллельного переноса в слоях расслоения вдоль векторов, которые соединяют эти грани ( у нас же есть связность). Для обычной формы это просто естессно будет разность чисел. Только еще для каждой пары к-мерных граней эту разность нужно домножать на +/-1 с учетом ориентации грани.
Просуммировав эти разности для каждой пары граней получим некий вектор в слое над данной точкой. ( в случае обычной формы просто число).
Ну а дальше стандартно делим на длину ребра и переходим к пределу.
Сорри если криво написал, как смог. Надеюсь как-то прояснил картину.

stm7929259

Ну , интегрального геометрического смысла нет, поскольку интеграл неопределен.
Ты ж это в самом начале написал..

491593

я просто еще надеялся что можно локально что то типа интегрального пучка ростков определить, чтобы при сжатии окрестностей он сходился. глобально то необязательно. но не получается никак и я забил
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: