Пример сопряжённого пространства

Julia080682

Какое пространство является сопряжённым к C[0,1]?

lenmas

V[0,1] с нормировкой (в нуле ноль и непрерывные справа, кроме, быть может, в нуле).

Julia080682

Какая там нормировка?
Скалярное произведение в V[0,1] - это интеграл от произведения функций?

lenmas

Это не гильбертово пространство, чтобы там быть скалярному произведению. Обычное банахово пространство с нормой - вариацией функции. А у гильбертова пространства сопряженное - оно же само.

Julia080682

Из C[0,1] гильбертово никак нельзя сделать выбором подходящей нормы? Они же непрерывные, интеграл от их квадрата конечен...

lenmas

Нет, нельзя. Есть такая задачка: показать, что в С нельзя ввести гильбертову норму, эквивалентную стандартной.

Julia080682

Спасибо

svetik5623190

Какое пространство является сопряжённым к C[0,1]?
К пространству (некоторых) функций в естественной двойственности находится пространство (некоторых) мер. Билинейный функционал, приводящий эти пространства в двойственность - это интеграл функции по мере.
Исходя из того, какие функции, подбираются и меры. В данном конкретном случае ответ уже огласили, только я не помню, правильный ли он.
В одну сторону очевидно - функция ограниченной вариации задаёт меру (Лебага-Стильтьеса а та - интегральный функционал на пространстве непрерывных функций.
Осталось доказать в другую сторону - т.е. доказать, что любой непрерывный функционал на C[0,1] можно представить в виде интеграла по некоторой мере, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега (плотность Радона-Никодима этой меры относительно меры Лебега и будет той самой искомой функцией ограниченной вариации). Как это сделать, что-то сразу в голову не приходит.

svetik5623190

Из C[0,1] гильбертово никак нельзя сделать выбором подходящей нормы? Они же непрерывные, интеграл от их квадрата конечен...
Спору нет, интерал от произведения функций задаёт на С[0,1] скалярное произведение. Вопрос в том, что
1. будет ли это пространство полным относительно нормы, порождённой этим скалярным произведением?
2. И будет ли эта норма порождать ту же топологию, которая порождается естественной (равномерной, чебышёвской, супремумной) нормной на C[0,1]?
Ответ на первый вопрос отрицательный (пример придумай сама кроме того, известно, что если пополнить C[0,1] по этой норме, то получится очень популярное гильбертово пространство L_2[0,1], которое отнюдь с C[0,1] не совпалдает. Почти очевидно (пример придумай сама что C[0,1] в L_2[0,1] (в норме L_2[0,1]) не замкнуто, и поэтому полным быть не может (полное подпространство хаусдорфова пространства замкнуто).
Ответ на второй вопрос тоже отрицательный - сама придумай последовательность функций, последовательсть интегралов от квадратов которых стремится к нулю, но максимум которых равен единице. А вот наоборот не получится - равномерная сходимость функций к нулю влечёт сходимость к нулю последовательности интегралов от квадратов этих функций (очевидная оценка). Поэтому топология, индуцированная на C[0,1] из L_2[0,1] (т.е. топология, задаваемая нормой-интегралом от квадрата) строго слабее естественной топологии на C[0,1].

a7137928

Как это сделать, что-то сразу в голову не приходит.
Тупо в лоб проверить, что функционал задаёт меру (точнее, заряд).
Пусть есть непр. функционал мю.
1) Определим значение этого функционала на множестве, для начала на каком-нибудь интервале. Ясное дело, для этого надо взять индикатор I измеримого множества и вычислить значение \mu(I). Но так делать нельзя, поскольку мю не определена на разрывном индикаторе.
Тогда мы приблизим I сходящимися к нему поточечно непрерывными функциями f_n, норма каждой не превышает единицы. Последовательность действительных чисел \mu(f_n) будет ограниченной (числом ||\mu|| со стремящейся к нулю разностью \mu(f_{n+1})-\mu(f_n). Легко видеть, что такая последовательность имеет предел.
Обзовём этот предел значением функционала мю на интервале.
Дальше всё просто.
2) С помощью такой же конструкции проверяем нужные нам свойства мю: аддитивность и непрерывность на алгебре конечных объединений интервалов. Из непрерывности легко получается сигма-аддитивность. Мы получили, что мю - это заряд на алгебре интервалов.
3) По теореме Каратеодори единственным образом продолжаем мю на борелевскую сигма-алгебру. Затем продолжаем на лебеговскую сигма-алгебру.
4) Проверяем, что значение мю на любом множестве меры ноль равно нулю. Т.е. абсолютная непрерывность относительно меры Лебега налицо, можно пользоваться теоремой Радона-Никодима.

vovatroff

любой непрерывный функционал на C[0,1] можно представить в виде интеграла по некоторой мере, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега
Утверждение неверно. Контрпример - дельта-функционал.
Топикстартеру: точный ответ на ваш вопрос дает теорема Рисса, которую вместе с док-вом
можно посмотреть в Колмогорове-Фомине, гл. VI, параграф 6.

a7137928

Утверждение неверно. Контрпример - дельта-функционал.
Сцуко, ты прав. Какой ужас, что я ни хрена не помню.
Кстати, глянул книжку Хелемского - там в теореме Рисса для доказательства того, что любой функционал есть мера, используется теорема Хана-Банаха: функционал тупо продолжается на L_1 с сохранением нормы.

svetik5623190

Утверждение неверно. Контрпример - дельта-функционал.
Да, да, действительно, норма дельта-функционала получается равной 1.
Хотя это, конечно, не отменяет того, что (C[0,1])* явно изоморфно некоторому пространству мер, например, дельта-функционал соответствует сингулярной мере, сосредоточенной в нуле (мера множества {0} равна 1, мера не пересекающихся с {0} множеств равна 0).
Что же тогда, я прогнался, говоря, что есть изоморфизм между пространством мер, абсолютно непрерывных относительно меры Лебега и пространством функций ограниченной вариации, обращающихся в нуле в ноль и таких, что в точках разрыва g(t)=g(t-0)?
Какая, кстати, функция этого класса соответствует дельта-функционалу?
Подскажите плиз кто знает, а то госы скоро. КФ в пределах досягаемости не имею.

a7137928

Что же тогда, я прогнался, говоря, что есть изоморфизм между пространством мер, абсолютно непрерывных относительно меры Лебега и пространством функций ограниченной вариации, обращающихся в нуле в ноль и таких, что в точках разрыва g(t)=g(t-0)?
Да, чуток.
Чтобы это утверждение было правильным, надо заменить меры на заряды (или отдельно указать, что меры не обязаны быть неотрицательными а функции ограниченной вариации сделать непрерывными. Совсем непрерывными, а не только слева.
Вроде так.

vovatroff

Совсем непрерывными, а не только слева.
Все же абсолютно непрерывными, если не путаю?
Контрпример - канторова лестница, вроде.

vovatroff

КФ в пределах досягаемости не имею.
Я посмотрю в нем дома и отпишусь.

svetik5623190

Что же тогда, я прогнался, говоря, что есть изоморфизм между пространством мер, абсолютно непрерывных относительно меры Лебега и пространством функций ограниченной вариации, обращающихся в нуле в ноль и таких, что в точках разрыва g(t)=g(t-0)?

Да, чуток.
Чтобы это утверждение было правильным, надо заменить меры на заряды (или отдельно указать, что меры не обязаны быть неотрицательными а функции ограниченной вариации сделать непрерывными. Совсем непрерывными, а не только слева.
Вроде так.
Совсем забыл, что обычно мера предполагается неотрицательной функцией множества. Просто у нас на семинаре моего научрука Смолянова по умолчанию предполагается, что мера вещественная, а бывает что и комплексная, а то и вовсе со значениями в топологической полугруппе. То есть термином "заряд" никто не пользуется, говорят просто "мера", подразумевая под этим "заряд" (в терминологии КФ если не оговорено противное. Мы же смотрим на дело с точки зрения топологических векторных пространств, а положительные меры линейного пространства не образуют. Вот и въелась поэтому такая терминология..
Кстати, а как красиво описать то пространство мер (если угодно, зарядов плотность которых задаётся функциями ограниченной вариации, обращающимися в нуле в ноль и такими, что в точках разрыва g(t)=g(t-0)? Или соответсвие тут не через плотность?
Потому что какая мера (естественным образом) соответствует например дельта-функционалу, я понимаю, а какая функция описанного класса - нет. Да и вообще меру с атомами плотностью не задашь.
Я посмотрю в нем дома и отпишусь.
Спасибо.

svetik5623190

Я посмотрю в нем дома и отпишусь.
Так, я заполучил КФ. Оказывается, я всё-всё позабыл! :( Подготовка к госам будет жаркой, реально много улетучилось из памяти....
Все мои вопросы в этом треде снимаются, боюсь мне нужно немного подботать матчасть по учебникам, тогда половина из них, вероятно, сама собой отпадёт.
Спасибо всем за беседу.

vovatroff

Хорошо, что предупредили, а то я уже сам за КФ взялся.
Да мне и самому любопытно было освежить в памяти,
как говорится, спасибо за повод.
PS В КФ как раз в той самой главе есть задача - сосчитать обобщенную производную канторовой лестницы. У меня есть свой ответ, но я не уверен в его правильности.
Тем не менее, готов пообсуждать, если будет интересно.

svetik5623190

любопытно было освежевать в памяти
:grin:
Тем не менее, готов пообсуждать, если будет интересно.
Спасибо, буду иметь в виду. Но точно не сегодня :) Спокойной ночи! :D

a7137928

Все же абсолютно непрерывными, если не путаю?
Да, опять я ошибся блин.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: