Литература по теории вероятностей для финансов

Soror

После физфака (>10 лет) теорвером почти не пользовался, поэтому все забыл. Хотелось бы вспомнить/поучить. Основная цель - приложения (финансы, статистика, и т.п.: пока не знаю точно, где может пригодиться а так же просто для себя.
Желательно литературу, которая хотя бы переведена на нормальный английский.
Так же хотелось бы поучить современную теорию.
Хотел для начала почитать Гнеденко в переводе, но дальше середины не пошло - слишком тяжкий перевод, или может само по себе так написано.
Дальше думал почитать Ширяева. Там хотя бы перевод хороший. Но вот дилемма: полистал Jaynes "Probability Theory. The logic of science" и там, кажется, вся теория строится на новых понятиях (о которых я не имею понятия). И вот не знаю, может за него и взяться, минуя Ширяева, и поробовать разобраться?

vladnanu

Почитай Ширяева Основы стохастической финансовой математики.
Она несложная для чтения и на хорошем уровне и финансовые модели основные описаны.

Soror

Спасибо! То, что нужно.

LEV16101951

Можно и я поспрашиваю тут, чтобы новую тему не заводить?
Предположим, что у меня есть какая-нибудь функция [math]$f$[/math], заданная на, пускай конечном, множестве [math]$X$[/math]. Пускай также я много раз случайно и равновероятно выбирал точки [math]$x \in X$[/math] и выписывал значения функции [math]$f(x)$[/math] в выпавших точках. Вопрос: как по таким данным проверить, что "f имеет равномерное распределение на X"? Интуитивно хочется сказать, что оно равномерно, если частоты, с которыми встретилось то или иное значение f, сидят в коридоре [math]$[m - \varepsilon*m; m + \varepsilon*m]$[/math], где [math]$\varepsilon$[/math] небольшое, что-нибудь вроде пары процентов. А что на эту тему говорит матстат? По каким словам надо гуглить и что читать?

vladnanu

В твоей постановке значения f(x) вообще-то не должны быть распределены равномерно, их распределение зависит от функции f. Например, если тождественно f(x)=0, то распределение твоих наблюдений будет вырожденым. Сформулируй свой вопрос еще раз, пожалуйста.

LEV16101951

Множество X может быть большим, поэтому посчитать f во всех его точках и проверить равномерность может быть слишком затратно. Плюс сама f может быть задана, скажем, как программа для компьютера, и оценивать что-нибудь аналитически будет неудобно.
Вот пусть я выбрал случайно сколько-то точек из X, посчитал в них f и увидел, что частоты значений, скажем, оказались 100, 101, 100, 100, 98, 100, 100, 100. Можно ли сказать, что "f, скорее всего, распределена равномерно"?

vladnanu

Какая хорошая задача.
Тебе надо проверить гипотезу о принадлежности твоих наблюдений равномерному распределению. Гуглить: проверка гипотез, критерий согласия Пирсона, критерий согласия Колмогорова-Смирнова

LEV16101951

Спасибо!

maariha83

Тоже напишу сюда.
Гуглом не могу что-то найти то, что надо.
Подскажите статейку/учебник с описанием умного Монте Карло,
который бы выбирал, на каких более узких интервалах дальше разыгрывать переменные.
Могу и сам закодить, но боюсь не разберусь, какие значения можно увязывать в одном цикле, а
какие статистически независимы должны быть; и что должно быть с погрешностями метода.
Заранее очень благодарен.

Niklz

importance sampling? monte carlo markov chain?
по какому принципу умный метод должен выбирать направление?

maariha83

спасибо, сейчас поищу, то ли.
размерность задачи — 5.
можно подставлять в серию уравнений все возможные сочетания значений координат,
получившихся в тестах Монте Карло, и мнкой выбирать лучшую точку (первое что приходит на ум).
а насчет выбора следующего интервала, я теряюсь, как оценивать
достоверность, что в N тестах лучшая точка (окрестность к-рой дальше будет новым
интервалом) действительно лучшая по сравнению с N+1 тестом; и какое N достаточно выбирать.
наверно, в мануалах, где встречаются предложенные тобой темы, должны быть ответы на такие вопросы)

vladnanu

А что ты хочешь найти таким приближением? Минимумы-максимумы функции? Функция из какого класса?
Опиши, пожалуйста, еще раз свою задачу.

maariha83

надо найти хорошее нач. приближение в задаче поиска оптимальной точки.
её координаты определяются рядом условий: нелин. алгебраических уравнений и неравенств.
да, приближения не нужны, наверно, спасибо. я вообще немного запутался, чего нужно, сори(

vladnanu

То есть ты решаешь нелинейную систему градиентным спуском и при этом стоит задача нахождения начального приближения, так?
Обычно пытаются разбить область на подобласти равномерно ("на сетке" осреднить параметры внутри подобластей (каждой ячейке сетки ставят в соответствие одно значение одного параметра — среднее значение по подобласти потом упростить задачу на этих подобластях и примерно прикинуть значения твоих функций на этих подобластях (посчитать значения в осредненных точках). Потом выбирают одно самое подходящее значение вреди всех областей и считают его первым приближением.
Написано в Айвазяне "Прикладная статистика"

maariha83

спасибо большое)
а про последовательность интервалов я до этого думал в связи с тем, что величины малые и заранее
не известно, сколько надо значащих цифр брать: каждый следующий интервал открывал
бы следующий разряд.

griz_a

Ага, Колмогоровым-Смирновым проверку выборки с дискретным распределением на принадлежность к непрерывному распределению с неизвестными параметрами :crazy:
Так все-таки надо определиться с задачей, в данный момент это звучит как полная фигня.
Текущая постановка такая:
Есть f(X_1...,f(X_n где X_1,...,X_n - равномерно распределены на некотором конечном множестве. Проверить f(X_1...,f(X_n) на равномерность
Собственно, на равномерность на чем?
Если на отрезке, то нет, она дискретна
Если на дискретном множестве, которое является областью определения нашей функции, то она там будет равномерна тогда и только тогда, когда f склеивает все значения ровно по k штук.

vladnanu

Скорее всего задача звучит примерно так:
Есть множество X, на котором определена функция f. Множество Х большое, может даже континуум, а функция f задана сложно (например, программой поэтому нет возможности посчитать f на всем множестве Х. С другой стороны, есть предположение, что область значений f — это отрезок, и плотность распределения f равномерна. Но так как возможности посчитать это напрямую нет, то выбираются случайные точки Х_1, Х_2...Х_N, в них рассчитывают функцию f и по полученным наблюдениям делают вывод обо всех остальных точках. В этом случае f(X_i) могут быть наспределены не дискретно, а вполне себе непрерывно. Если заранее оценить параметры равномерного распределения (полагаю, что предположения о них есть, исходя из физики задачи то это в чистом виде критерии согласия.

griz_a

Так вот - использовать критерий согласия Колмогорова с оцененными параметрами для проверки гипотезы принадлежности к параметрическому семейству - это очень-очень плохой совет. Например, потому, что типичный уровень погрешности оценки параметра статистикой - 1\sqrt{n}, а критерий Колмогорова статистику в корень из n раз увеличивает. Если нет уверенности в хорошем приближении исходной ф.р. непрерывной - то прямо отвратительный.
Структура задачи, по всей видимости, идеальна для применения критерия хи-квадрат, но надо уточнить все-таки, в чем заключается дискретность исходного параметра и сколько наблюдений и действительно ли задача о применении функции к равномерным данным с надеждой на равномерность. Потому что если да - то это вопрос вообще не к вероятности, а к оцениваемой функции. Вы по сути методом Монте-Карло предлагаете оценивать - является ли наша функция пропорционально увеличивающим меру отображением, но для этого надо представлять размер выборки и схему задания функции.

vladnanu

Структура задачи, по всей видимости, идеальна для применения критерия хи-квадрат.
Я уже писала про критерий Пирсона
но надо уточнить все-таки, в чем заключается дискретность исходного параметра и сколько наблюдений и действительно ли задача о применении функции к равномерным данным с надеждой на равномерность. Потому что если да - то это вопрос вообще не к вероятности, а к оцениваемой функции. Вы по сути методом Монте-Карло предлагаете оценивать - является ли наша функция пропорционально увеличивающим меру отображением, но для этого надо представлять размер выборки и схему задания функции.
Да, это не вероятностная задача, но если Х прям ппц как велико, то оно есть аналог пространства элементарных событий, а f — это случайная величина, которую надо проверить на равномерность.

griz_a

Я уже писала про критерий Пирсона

Для неподготовленного человека лучше писать уже отфильтрованные условия, чем все подряд, правда?
Да, это не вероятностная задача, но если Х прям ппц как велико, то оно есть аналог пространства элементарных событий, а f — это случайная величина, которую надо проверить на равномерность.

Это и есть метод Монте-Карло де факто

maariha83

, спасибо!
(, передавай мой привет Ване Ремизову, как увидишься)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: