Решение уравнения

Irina_Afanaseva

на решение в целых числах х^2=y^3+1 и x^2+7=y^3 где можно посмотреть?
Плиз хелп, спросили как решать.
первый раз такие вижу. вроде с устного экз на ВМК, но не знаю в какой книжке объясняется

mtk79

неужели, для того, чтобы решить уравнение уровня ср.школы, требуется читать объяснения в книжках?

lenmas

Кажется, надо перенести единичку в левую часть и разложить на множители. Они "почти" взаимно просты, отсюда должны быть кубами. Насколько я помню из популярной книжки Воробьева "Решение уравнений в целых числах", они имеют только одно или два решения, больше не существует. То же самое наверное со вторым уравнением

Irina_Afanaseva

 
перенести единичку в левую часть и разложить на множители. Они "почти" взаимно просты, отсюда должны быть кубами

в этом "почти" вся загвоздка. так доказывается только для нечетного х. что с четными х делать - не знаю.
Теорема Туэ не помогает, она для однородных правых частей.
Теорема Делоне вообще только для кубов (ах^3+y^3=1).
А насчет Воробьева - такого названия не находит гугл. Только
Н.Н. Воробьев. «Числа Фибоначчи».
А.О. Гельфонд. «Решение уравнений в целых числах».
Но Гельфонда я смотрел, там нет про это.

Irina_Afanaseva

ни в Гольфанде, ни в мехматском пособии по школьным задачам такой тип не рассматривается.
Не знаю где искать

NHGKU2

В первом уравнении при x чётном (x=2t) тоже ведь легко узреть взаимную простоту чисел 2t+1 и 2t-1 при t не равном -1,0,1. Тогда можно доказать, что при таких t решений нет.
А среди случаев -1, 0 и 1 решение будет лишь при t = 0: x = 0, y = -1.

lenmas

Я с Гельфондом перепутал Там я точно видел, сам в детстве выписывал именно это уравнение в тетрадку, правда, оно там не решается, а просто утверждается, что имеет только решение (3,2).

goga7152

Можно попробовать посмотреть методы решения еще в Айерленде-Роузене в главе о диофантовых уравнениях.

lenmas

Ну вы даете! Теорема Туэ и общие методы решения диофантовых уравнений для абитуриентов, это да Обычно они применяются к случаю, когда решений бесконечно много, и надо как-то получить рекурентные формулы для них (метод секущих, касательных). Тут решение, кажется, единственно (или не существует).

svetik5623190

я бы для начала зафигачил в комп и посмотрел численные решения. Написать несложную прожку на любом языке типа Си++ или Паскаля, которая проверяет пары чисел на то, являются ли они решениями. Ну и просмотреть в цикле
х = -1000...1000, у= -1000...1000.
Комп моментально (ну или довольно быстро, не больше 10 минут, смотря какой комп) тебе посчитает, и можно будет высказывать разумные гипотезы о структуре решений, которые потом доказывать. Ещё приятно отмечать точки-решения на плоскости: можно на глаз увидеть закономерности какие-нибудь. Когда точек мало (1000х1000 то можно ставить их прямо белыми пикселями на чёрном фоне, поставив большое разрешение экрана: так уж точно ни одну не проморгаешь
Если на малых масштабах не увидишь закономерности, можно просмотреть бОльший объём переменных, иногда большое видится на расстоянии )
Успехов!

Norrat

 
В первом уравнении при x чётном (x=2t) тоже ведь легко узреть взаимную простоту чисел 2t+1 и 2t-1 при t не равном -1,0,1. Тогда можно доказать, что при таких t решений нет.
А среди случаев -1, 0 и 1 решение будет лишь при t = 0: x = 0, y = -1.


Мои ответы:
x = 0, y = -1
x = 1, y = 0
x = 3, y = 2

svetik5623190

а вообще, я думаю, нужно тут пользоваться аппаратом сравнений по какому-нибудь модулю. Например, во втором уравнении так и хочеться взять обе части по модулю 7.
А в сравнениях есть развитая теория: индексы, китайская теорема об остатках и т.п. Может, таким способом удастся доказать отсутствие решений в каком-то классе.
Скорее, я думаю, даже эта теория вся не потребуется, просто поступающий, видимо, должен знать, что такое сравнения и уметь их применять, свойства знать: что складыать из можно, множить и т.п.
Что-нибудь поразложить на множетели, прибавить-вычесть, взять по какому-нибудь хитрому мудулю обе части... Я бы так стал пытыться решать.
Тока времени щас пипец нету, так что сорри.
Успехов!

NHGKU2

x = 1 и x = 3 - нечетные, а я рассматривал только четные x (т.к. с нечетными автор вроде сам разобрался).

Irina_Afanaseva

ботать древнего Моденова, не сына а отца.
насчет первого уравнения: сложность в четных кубах, а не квадратах, это описка была (х вместо у)

tanuhka3

уравнение х^2=y^3+1
1. x - четно, тогда т.к. (x+1,x-1)=1 => x+1 и х-1 полные кубы
2. х - нечетно, пусть х=2к+1 y=2n
k(k+1) = 2*n^3
если k четно, k=2m
m(2m+1)=n^3
но m и 2m+1 взаимно просты => они полные кубы
если k нечетно, k=2m-1
m(2m-1)=n^3
аналогично, m и 2m-1 взаимно просты => полные кубы
=> теперь аккуратный перебор всех случаев
второе сходу что-то не решается, но там очевидно есть решения, так что просто проверить обе части по какому-либо модулю не получится.

Irina_Afanaseva

Название: Сборник задач по специальному курсу элементарной математики
Автор: Моденов П.С.
1973г. издания
жаль, в нашей елиб только 1960-го года... придется до завтра отложить

Irina_Afanaseva

m и 2m-1 взаимно просты => полные кубы
=> теперь аккуратный перебор всех случаев
ну вот в этом переборе я и закопался! он у меня не кончается что-то. ищу идею.
уравнение свелось к 2a^3 (+-) 1=b^3, и что - толкать оценки Делоне?

FANTOM

Плиз хелп, спросили как решать.
первый раз такие вижу. вроде с устного экз на ВМК, но не знаю в какой книжке объясняется
a nel'zya prosto grafiki postroit'... kak v shkole delali...

svetik5623190

Взгляни, вдруг поможет:
http://elib.hackers/forum/viewtopic.php?t=1887

lenmas

Знаешь, второе уравнение имеет несколько (бесконечно много?) решений в натуральных числах, например, (1,2) или (181,32). Наверное, здесь без общих методов не обойдешься А первое точно имеет только одно решение в натуральных числах, которое найдено выше С книжкой - это была не книжка Гельфонда (посмотрел, у Гельфонда не то). Книжка называется все-таки "О решении уравнений в целых числах", такая брошюрка тонкая, мне учительница в школе давала читать. Только там сводка готовых формул в основном, решения все равно нет для большинства уравнений. Типа "Китайский математик такой-то выяснил, что такое-то уравнение имеет такие-то решения, и других нет" и куча красивых формул.
PS Точно, это был Серпинский! Крутая книжка, и написана просто. Про первое уравнение написано то, что я написал, но доказательство, утверждается, непростое, а второе, написано, имеет конечное число решений (это доказал Морделл но, я так понял, все решения еще не найдены (только эти два указаны).

Zoltan

второе, написано, имеет конечное число решений (это доказал Морделл но, я так понял, все решения еще не найдены

такими темпами на устных экзаменах на ВМК будут скоро непонравившимся абитуриентам предлагать доказать теорему ферма

lenmas

А вот я сам не понял юмора Или это была шутка?

Irina_Afanaseva

ну нифига себе.
это задачи из ВМК-шного сборника задач устного экзамена!

lenmas

Ну почитай Серпинского, я не виноват

bredjuk

а школьными методами нельзя решать? типа подстановкой обычной?
или на устном экзамене надо устно решать?

svetik5623190

Вступительный экзамен по истоии.
Экзаменатор: Назовите даты Столетней войны.
Абитуриент (Называет)
Э: А сколько человек погибло?
А - называет
Э: Перечислите их имена!
Неужели такое и с математикой теперь будет? Наверняка есть простое решение, не сволочи же они там. Кстати, замечу, что из существования сложного решения не следует отсутствие простого. Даже если сложное придумано таким великим челом, как Серпинский.

Irina_Afanaseva

читаю Серпинского, спасибо!
первое решилось! выше подробно написано (спасибо что
оно в нетривиальном случае
упирается в k(k+1) = 2*n^3, но целое число
k(k+1)/2 (называемое треугольным) по теореме Эйлера не есть куб!
теорему Эйлера осталось прочесть
(посоветуйте, кстати, если известно - где она есть?).
на центральную идею для второго Серпинский тоже указал- про делимость на 4n+3
(-1 не является квадратичным вычетом по этому модулю
надо посмотреть, легко ли сводится к этому.

lenmas

В Серпинском написано, что элементарное доказательство есть, но оно было придумано не сразу. На устном экзамене, наверное, имелось в виду найти хотя бы одно решение, и этого типа было достаточно

DarkDimazzz

Похоже, что у второго уравнения решений всего два... По крайней мере в области y < 10000000000 других решений нет.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: