Удовлетоворяет ли акция уравнению Black-Scholes?

Polyphem

Помогите, пожалуйста, разобраться со следующим вопросом.
Допустим, имеется акция, которая платит дивиденды с непрерывным yield,
равным [math]q[/math], иными словами, ее цена удовлетворяет стандартному соотношению
[math]  \[     dS = (\mu - q)S dt + \sigma dZ  \]  [/math]
Здесь , в самом начале,
в разделе "Continuous dividend yield model" можно ознакомиться с выводом уравнения
в этом случае, которое будет иметь вид
[math]  \[     \frac{\partial c}{\partial t}+  \frac{\sigma^2}{2}S^2\frac{\partial^2 c}{\partial S^2} + (r-q)S\frac{\partial c}{\partial S} - rc = 0,  \]  [/math]
где
[math]  \[     c(S, t)  \]  [/math]
цена произвольного производного инструмента, цена которого зависит от S и от t.
Вопрос, на который я хочу найти ответ очень простой. Насколько я понимаю, любой производный
инструмент, зависящий от S и t должен удовлетоворять этому уравнению.
Если следить за выводом уравнения, то акция также должна удовлетворять ему. Верно ли это?
И если верно, не могли бы вы продемонстрировать это, подставив стоимость портфеля,
состоящего из одной только акции, непостредственно в уравнение? Буду премного благодарен
за помощь.

BSCurt

Если следить за выводом уравнения, то акция также должна удовлетворять ему. Верно ли это?
Как я понимаю, да. Только ответ будет: цена акции в момент времени t равна цене акции в момент времени t.

Brina

Увидев первое уравнение, я подумал о термодинамике...

Polyphem

Вот как бы я проверил выполнение уравнения "по смыслу":
рассмотрим произвольный момент времени t и пусть цена ации в тот момент времени
равна S_t. Тогда за время dt по такой акции мы получим дивиденты в размере
[math]  \[  D = q S_t dt  \]  [/math]
Последнее предложение позволяет нам найти первый член уравнения
[math]  \[  \frac{\partial c}{\partial t}.  \]  [/math]
По смыслу этот член означает изменение нашей позиции при фиксированной цене акции,
но это есть приток дивидендов, а значит должно выполняться
[math]  \[  \frac{\partial c}{\partial t} = qS_t.  \]  [/math]
Далее, понятно, что второй член такого портфеля равен нулю, так как
[math]  \[  \frac{\partial^2 c}{\partial^2 S} = 0.  \]  [/math]
Далее,
[math]  \[  (r-q)S \frac{\partial c}{\partial S} = (r -q) S  \]  [/math]
А значит, сумма будет равна
[math]  \[  q S + (r-q)S - rS = 0  \]  [/math]
Но ведь я чушь написал. Например, когда заменил последнее слагаемое, равное rc, на rS.
Более того, из моего рассуждения следует, что всегда выполняются два соотношения
[math]  \[  \frac{\partial c}{\partial t} = q S  \]  \[  \frac{\partial c}{\partial S} = 1  \]  [/math]
но ведь это несовместная система. В общем, я запутался.
Если бы не было дивидентов, то мы бы проверили, что функция
[math]  \[  c(S,t) \equiv S  \]  [/math]
удовлетворяет уравнению и все. Как это сделать в этом случае, я не понимаю :(

Polyphem

Второе уравнение заменами (можно поискать, какими именно)
сводится к виду
[math]  \[   \frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial^2 x}  \]  [/math]

Brina

Что-то мне совсем не понятно, откуда следует пятое уравнение...
А из него следует, что dc/dS = 1... Или я туплю? Ну, да. В дальнейшем ты и сам приходишь к этому выводу.
Так что, подозреваю, косяк в пятом.

Andrey56

Увидев первое уравнение, я подумал о термодинамике...
а второе уравнение навеяло переменные угол-действие из теор. механики )

BSCurt

В самом деле это какое-то очень сильное колдунство, аж ответ стало интересно, я не понимаю почему вычитаются дивиденды([math]$q S dt$[/math]) в формуле для цены акции [math]$dS$[/math] и куда дивиденды идут потом (в смысле если на них покупают безрисковые активы то они должны потом расти со ставкой r)

Polyphem

Насчет дивидендов: я думаю, что данную запись можно понимать так, как будто дивиденды реинвестируются в акции.
Постараюсь объяснить свою мысль "от печки".
1. Рассмотрим простейший случай акции, не платящей дивидендов и не имеющий неопределенности.
Тогда запись приращения цены акции вырождается в
[math]  \[    dS = \mu S dt,  \]  [/math]
что означает, что цена акции растет экспоненциально (можно решить простейший дифур). Здесь можно сделать
дополнительное замечание, что если в экономике есть безрисковый актив (облигации США :) то условие
отсутствия арбитража должно налагать условие
[math]  \[  \mu = r_{free}  \]  [/math]
2. Рассмотрим акцию, платящую дивиденды [math] m [/math] раз в год со ставкой q и отсутствие неопределенности.
(дивиденды за период платятся исходя из цены акции на начало периода)
Допустим акция стоит S_0 у.е. (условных единиц) в момент времени 0, тогда перед первой дивидендной выплатой она будет стоить
[math]  \[  S_1 = (1 + \frac{\mu - q}{m}) S_0,  \]  [/math]
а размер твоей дивидендной выплаты первый раз в год будет равняться
[math]  \[  D_1 = \frac{q}{m}S_0,  \]  [/math]
условным единицам так как на начало периода акция стоила S_0.
Предположим, что мы на все полученные деньги покупаем акций, тогда наше богатство
после первой дивидендной выплаты будет полностью вложено в акции и его стоимость будет
равна
[math]  \[  W = D_1 + (1 + \frac{\mu - q}{m}) S_0 = (1 + \frac{\mu}{m})S_0  \]  [/math]
Аналогично, после второй дивидендной выплаты (на которую мы вновь покупаем акции
наше богатство будет равно
[math]  \[  W = D_2 + (1 + \frac{mu - q}{m}1 + \frac{\mu}{m})S_0 = (1 + \frac{q}{m}1 + \frac{\mu}{m})S_0 + (1 + \frac{\mu - q}{m}1 + \frac{\mu}{m})S_0  = (1 + \frac{\mu}{m})^2 S_0   \]  [/math]
И так далее, в конце года наше богатство будет равно
[math]  \[  W =  (1 + \frac{\mu}{m})^{m} S_0.  \]  [/math]
То есть смысл в чём: мы все полученные дивиденды перекладываем акции сразу же после получения и
живем следующий период. Далее, стандартно, если [math]m[/math] устремить к бесконечности,
то можно получить непрерывный rate.
Данную процедуру очень можно сравнить, например, с долларовым депозитом. То есть у нас лежат
деньги в долларах (в "акциях") и банк выплачивает нам проценты ("дивиденды") тоже в долларах и мы их сразу
же как получили, кладем на депозит.
Соответственно, если m устремить к бесконечности, то получим,
что цена акции через один период будет равна
[math]  \[  S_1 = e^{\mu - q} S_0,  \]  [/math]
а через [math]t[/math] периодов
[math]  \[  S_t = e^{(\mu - q)t} S_0,  \]  [/math]
а значит, удовлетворяет соотношению
[math]  \[  dS = (\mu - q) S_t dt,  \]  [/math]
которое говорит, что "слишком жирно" для человека получать дивиденды, при этом чтобы еще и цена росла с темпом мю.
3. Добавление неопределенности, вроде, интуитивно.
P.S. Прошу прощения, что так длинно. Я думаю, что чем больше я предоставлю информации, тем больше шансов, что мне помогут с моим вопросом.

vitamin8808

Просто одна акция этому уравнению не удовлетворяет,
надо дивиденды реинвестировать.

Polyphem

Можешь хотя бы кратко это продемонстрировать?

sverum

Вопрос, на который я хочу найти ответ очень простой. Насколько я понимаю, любой производный инструмент, зависящий от S и t должен удовлетоворять этому уравнению. Если следить за выводом уравнения, то акция также должна удовлетворять ему. Верно ли это?
Вопрос здесь в том, что такое инструмент "акция". Обычно в стандартной постановке рассматриваются инструменты с выплатой в некоторый фиксированный момент времени T, размер которой зависит от цены акции. То есть в нашем случае "акция" - это инструмент, который в момент времени T выплачивает сумму S(T). Решением уравнения с граничным условием c(s,T) = s является функция c(s,t) = exp(-q*(T-t * s и delta = exp(-q*(T-t. Выглядит правдоподобно.

sverum

В самом деле это какое-то очень сильное колдунство, аж ответ стало интересно, я не понимаю почему вычитаются дивиденды( ) в формуле для цены акции и куда дивиденды идут потом (в смысле если на них покупают безрисковые активы то они должны потом расти со ставкой r)
На самом деле речь идет об элементарных вещах в этой области, просто ты - полуграмотная идиотка.

vitamin8808

Ну смотри:
1) Если q=0, то очевидно, что просто 1 акция удовлетворяет этому уравнению.
2) Если q не ноль, то реинвестируем дивиденды обратно в сток. Стоимость такого портфеля вроде [math]$e^{qt}S_t$[/math], если я ничего не напутал в уме. Эта функция уравнению удовлетворяет.

Polyphem

Если q не ноль, то реинвестируем дивиденды обратно в сток. Стоимость такого портфеля вроде [math]$e^{qt}S_t$[/math], если я ничего не напутал в уме. Эта функция уравнению удовлетворяет.
Это неверное утверждение. По поводу реинвестиций можешь посмотреть мой пост выше.
в своем первом посте высказал разумную мысль. Я ее сейчас обдумываю, так как не до конца понимаю.

vitamin8808

Это неверное утверждение. По поводу реинвестиций можешь посмотреть мой пост выше.
Имхо верное. Сейчас посмотрел, тоже самое написано в книжке Baxter&Rennie, страница 108,
и тут:
http://books.google.com/books?id=XAbI_DkmhZ0C&pg=PA19&am...
Если у тебя сейчас f акций, то за счёт дивидендов ты можешь прикупить ещё f*q*dt,
то есть df=qfdt.

Polyphem

Если у тебя сейчас f акций, то за счёт дивидендов ты можешь прикупить ещё f*q*dt,
то есть df=qfdt.
Верно, здесь ты говоришь о количестве акций (обозначаемое буквой f).
В предыдущем посте ты говорил о стоимости портфеля (он не будет равен [math]\[ e^{qt} S_t \] [/math] так как за время [math]\[ \Delta t \][/math] изменяется цена акции.

vitamin8808

Если у тебя f акций, то стоимость портфеля по определению равна f*S_t.
А то, что стоимость акций меняется за dt нас не волнует —
мы мгновенно получаем дивиденды, и тут же их реинвестируем.
Если тебе так будет проще понять, то представь, что дивиденды сразу в акциях выплачиваются,
а не кэшем.

Polyphem

Если тебе так будет проще понять, то представь, что дивиденды сразу в акциях выплачиваются,
а не кэшем.
Полностью согласен. Я об этом подробно писал в посте про реинвестиции .
А то, что стоимость акций меняется за dt нас не волнует —
мы мгновенно получаем дивиденды, и тут же их реинвестируем.

Полностью не согласен :) По твоим рассуждениям, акция с dividend rate,
равным q, в момент времени t должна стоить не [math]\[ S_t \] [/math], а
[math]\[ e^{qt} S_t \][/math] ведь мы получаем дивиденды мгновенно.
Важно как раз то, что dividend rate равен q, но при этом дрифт акции
уменьшается на q и равен (мю - q). То есть в сумме ты не выигрываешь,
а получаешь мю.

vitamin8808

Я бы всё это записал так:
[math]$V_t = f_t S_t$[/math], где V — цена портфеля, а [math]$f_t$[/math] — число акций, [math]$f_0 = 1$[/math].
Ито нам даёт
[math]$dV_t = d(f_t S_t) = f_t dS_t + S_t df_t + df_t dS_t$[/math].
С другой стороны, мы получаем [math]$f_tqS_tdt$[/math] дивидендов,
значит
[math]$dV_t = f_t dS_t + qf_tS_tdt$[/math] (*)
Приравнивая правые части, получаем
[math]$f_tdS_t + S_t df_t + df_t dS_t = f_t dS_t + qf_tS_tdt$[/math]
Учтём, что f_t это неубывающая функция(мы собираемся все дивиденды реинвестировать то есть почти всюду дифференцируемая, и значит [math]$df_tdS_t = 0$[/math].
Получаем [math]$S_t df_t = qf_tS_tdt$[/math], откуда [math]$f_t = e^{qt}$[/math]
PS Я не проверял, но думаю уравнение (*) есть self-financing condition в неявном виде.
Где-то же в док-ве оно должно использоваться...
PPS У тебя в самом первом уравнении очепятка, там sigma * S * dZ должно быть :)

vitamin8808

Насчет дивидендов: я думаю, что данную запись можно понимать так, как будто дивиденды реинвестируются в акции.
...
И так далее, в конце года наше богатство будет равно
[math] \[ W = (1 + \frac{\mu}{m})^{m} S_0. \] [/math]
Соответственно, если m устремить к бесконечности, то получим,
что цена акции через один период будет равна
[math] \[ S_1 = e^{\mu - q} S_0, \] [/math]
Не понял, откуда тут q взялось?

vitamin8808

PS Я не проверял, но думаю уравнение (*) есть self-financing condition в неявном виде.
Где-то же в док-ве оно должно использоваться...
Да, вот тут
на странице 32 оно явно и выписано.
То же самое чел сделал в том pdf, на который ты линк дал, смотри уравнение (7.2
первую строчку.

Polyphem

Не понял, откуда тут q взялось?
Там просто коряво с точки зрения языка оформлено предложение.
Просто спрашивал, почему в формуле
для цены акции вычитаются дивиденды и куда они идут потом.
Я начал с дискретного случая, когда акция росла с темпом [math]\[ \mu -q \][/math],
и показал, чему будет равно богатсво, если дивиденды реинвестируются.
Оказалось, богатство растет с темпом [math]\[ \mu \][/math] (если бы не было неопределенности).
Поэтому при переходе к непрерывному случаю ([math]\[ m \to \infty \] [/math] получим,
что акция растет экспоненциально с темпом [math]\[ \mu -q \][/math], а богатство экспоненциально
с темпом [math]\[ \mu \][/math].
У тебя в самом первом уравнении очепятка, там sigma * S * dZ должно быть

Да, конечно. Спасибо.
Я бы всё это записал так:...

Спасибо большое, подумаю над этим.

vitamin8808

Оказалось, богатство растет с темпом [math]\[ \mu \][/math] (если бы не было неопределенности).
Поэтому при переходе к непрерывному случаю ([math]\[ m \to \infty \] [/math] получим,
что акция растет экспоненциально с темпом [math]\[ \mu -q \][/math], а богатство экспоненциально
с темпом [math]\[ \mu \][/math].
Тогда у тебя в предельном переходе получается тоже, что и у меня: в портфеле [math]$e^{qt}$[/math]
акций.

Polyphem

Тогда у тебя в предельном переходе получается тоже, что и у меня: в портфеле [math]$e^{qt}$[/math]
акций.
Конечно, я с этим не спорил, а даже, напротив, согласился.
Но у меня не вполучается (и я считаю это нормальным что стоимость портфеля равна
[math] \[ e^{q} S_0 \] [/math] , как это написал ты в своем посте.
По моим рассуждениями, стоимость порфеля в конце периода будет равна
[math] \[ e^{\mu} S_0 \] [/math] , тогда как в начале можно было купить его за [math] \[ S_0 \] [/math]

vitamin8808

Но у меня не вполучается (и я считаю это нормальным что стоимость портфеля равна
[math] \[ e^{q} S_0 \] [/math] , как это написал ты в своем посте.
А где я это писал? У меня вроде везде [math] \[ e^{qt} S_t \] [/math]

Polyphem

Похоже, я тебя неправильно понял и мы все это время говорили об одно и том же.

Polyphem

Если я правильно понял твою мысль, то я согласен со всем, а именно, все довольно просто.
Твой портфель есть "количество акций" * "цену акции". Вот и все. Правильно находим количество
акций и убеждаемся, что портфель удовлетворяет уравнению. А далее с помощью константы
находим вид, чтобы конечное условие удовлетворялось.

vitamin8808

А далее с помощью константы
находим вид, чтобы конечное условие удовлетворялось.
Какой ещё константы и какое ещё конечное условие?
Есть начальное условие: в портфеле 1 акция.

Polyphem

Сорри, я уже о другом начала думать
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: