Посчитать интеграл (определенный, не в элементарных функциях)

leonmykopad

Взять интеграл
int( cos(x)/(x^2+1) ) от -infty до +infty
кто расскажет как?

griz_a

Можно через вычеты несложно показать, что
1/\pi \int_{-\infty}^{\infty} cos (t x) /(1+x^2) = e^{-|t|}.
А еще проще через обратное преобразование Фурье - докажем, что
\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} exp(itx)/(1+x^2) = e^{-|t|}.
Для этого воспользуемся обратным преобразование Фурье и найдем
\pi^{-1} \int_{-\infty}^{\infty} \exp(-i t x} e^{-|t|} dt = \pi^{-1} (\int_{0}^{\infty} \exp(t(ix - 1)} dt + \int_{-\infty}^{0} \exp(t(ix + 1)} dt) = \pi^{-1} (-1/(ix-1)+1/(ix+1 = 1/(\pi(x^2+1.
Значит действительно преобразование Фурье у 1/(\pi(x^2+1 есть e^{-|t|}, а значит заданный интеграл есть \pi/e

leonmykopad

круто! ) Спасибо.

leonmykopad

1/\pi \int_{-\infty}^{\infty} cos (t x) /(1+x^2) = e^{-|t|}.
маленький вопрос остался
а разве не
1/\pi \int_{-\infty}^{\infty} e^(itx) /(1+x^2) = e^{-|t|}.
или мнимая часть интеграла не считается, т.к. интегрирование по dx?

Lene81

мнимая часть нечетна относительно x, то есть при интегрировании от -\inf до \inf она даст нулевой вклад

leonmykopad

ну да либо можно сказать, что нас интересует только действительная часть полного интеграла.

griz_a

Да, мы посчитали интеграл, значит интеграл от косинуса будет равен вещественной части интеграла, а интеграл от синуса - мнимой. Наш интеграл получился вещественный, значит интеграл от мнимой части 0, а от вещественной - e^{-|t|}
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: