Подмножество мощнее самого множества?

Arthur8

а бывают ли множества, у которых подмножество мощнее самого множества?

tester1

нет, это следует из определения сравнения мощностей

Arthur8

http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%89%D0%BD%D0%BE...
Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или |2^A| > |A|.
Или я не понимаю чего-либо?

griz_a

Одно дело "множество всех подмножеств", другое дело - подмножество

tester1

все правильно Вики говорит: 2^A мощнее A
но 2^A не является подмножеством множества A (зато А является элементом множества 2^A)

tester1

Посмотрел статью в Вики. Литература там, конечно, указана на ура :) Если тебе интересно про множества, можешь мою методичку почитать, по ней первокуры мехмата уже два года учатся. Могу даже экземпляр подарить, если приедешь ко мне удобное время и место.

scorobei42ru

Если тебе интересно про множества, можешь мою методичку почитать, по ней первокуры мехмата уже два года учатся. Могу даже экземпляр подарить, если приедешь ко мне удобное время и место.
hardcore bobel-style

natunchik

нет, это следует из определения сравнения мощностей
Ты точно-точно уверен?
Я тут недавно прочитал про http://en.wikipedia.org/wiki/Skolem's_paradox и потому опасаюсь.

tester1

Ты точно-точно уверен?
ну, я опираюсь на такое определение: "мощность А меньше либо равна мощности В, если в В существует подмножество, на которое можно биективно отобразить А"
из этого определения следует, что мощность подмножества не превосходит мощность надмножества, биекция - тождественное отображение
твою ссылку щас почитаю

tester1

Посмотрел про парадокс:
Skolem's paradox is that every countable axiomatisation of set theory in first-order logic, if it is consistent, has a model that is countable. This appears contradictory because it is possible to prove, from those same axioms, a sentence which intuitively says (or which precisely says in the standard model of the theory) that there exist sets that are not countable. Thus the seeming contradiction is that a model which is itself countable, and which contains only countable sets, satisfies the first order sentence that intuitively states "there are uncountable sets".

Я не специалист в теории множеств, чтобы оценить этот факт. По моему мнению, он не влияет на обсуждаемое в треде утверждение. Впрочем, могу ошибаться.
Интереснее другой факт: если заданы два множества, то можно построить такую модель, что в ней они будут равномощны. Однако же и это вроде бы не должно влиять на обсуждаемое в треде утверждение.

Arthur8

спасибо за ответы народ!

tester1

да пожалуйста :)

seregaohota

natunchik

> Интереснее другой факт: если заданы два множества, то можно построить такую модель, что в ней они будут равномощны. Однако же и это вроде бы не должно влиять на обсуждаемое в треде утверждение.
Как я понимаю, парадокс Сколема утверждает что существуют модели в которых есть два множества, А и Б, такие что:
1. существует отображение из А в Б,
2. не существует отображения из Б в А.
И конкретно что если Б счётное, то А получается как бы несчётное, но оба являются подмножествами счётного множества (в чём и парадокс).
Его разъяснение парадокса состоит в том, что отображения как бы тоже множества на секундочку, и то, что одного из не оказалось в нашей модели ни о чём таком ужасно фундаментальном не говорит.
Так вот, мне кажется что твоё определение сравнения мощностей устроено точно так же и состоит из моих двух пунктов, так что это, нифига ничего не очевидно.

blackout

Так вот, мне кажется что твоё определение сравнения мощностей устроено точно так же, так что это, нифига ничего не очевидно.
А какое множество ты называешь множеством меньшей мощности? Емнип это множество, биективно отображаемое в подмножество. Ну а биективное отображение множества в себя всегда есть в ZF.

tester1

Так вот, мне кажется что твоё определение сравнения мощностей устроено точно так же и состоит из моих двух пунктов, так что это, нифига ничего не очевидно.
ты уже не раз подрезал мне крылья в вопросах о множествах, так что может ты и прав, а я лапоть
я подумаю
но все же мне кажется, что если модель фиксирована, то подмножество не может быть мощнее надмножетва, это было бы очень неестественно

tester1

1. существует отображение из А в Б,
2. не существует отображения из Б в А.
в смысле не существует? не наделенного какими-то свойствами, а вообще никакого отображения не существует? а как же отображение, которое все элементы переводит в какой-то один?

tester1

А какое множество Х ты называешь множеством меньшей мощности, чем Y? Емнип это множество X, биективно отображаемое в подмножество Z множества Y.
плюс нет биекции между X и Y
а то, что ты сказал, называется "множество не большей мощности"

Irina_Afanaseva

в смысле не существует?
невыразимо в модели.
модель (интерпретация) теории А есть на самом деле отображение _текста_ теории А в _текст_ теории множеств так, чтобы предикаты отображались в предикаты и т.п.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: