Задача по функану

lexa-vinni2

Помогите решить задачу
В банаховом пространстве l (бесконечность) (R) задано подмножество A:
A = < x из l (бесконечность) (R) : || x || = 1/2, x1 >= 0 >.
Представить его в виде счетного пересечения полупространств в l (бесконечность) (R где || x || = sup (по i) | xi |, полупространства вида H = y + f^(-1 [ 0, бесконечность) f - непрерывный линейнй функционал, y принадлежит l (бесконечность) (R).

BoBochka

Используйте, пожалуйста, TeX в теге [math]$ ... $[math], а то трудно читать.

lexa-vinni2

В банаховом пространстве $l_\infty (R)$ задано подмножество $A$:
$A = \{ x \in l_\infty (R) : || x || = 1/2, x_1 ġeq 0 \}$.
Представить его в виде счетного пересечения полупространств в $l_\infty (R)$, где $|| x || = \sup _i | x_i |$, полупространства вида $H = y + f^(-1 [ 0, \infty) )$, $f$ - непрерывный линейный функционал, $y \in l_\infty (R)$.

lexa-vinni2

Есть предположение что решения вообще не существует, но хотелось бы узнать мнение того кто хорошо разбирается в функане

urka3000

[math]  В банаховом пространстве $l_\infty (R)$ задано подмножество $A$: $A = \{ x \in l_\infty (R) : || x || = 1/2, x_1 \geq 0 \}$. Представить его в виде счетного пересечения полупространств в $l_\infty (R)$, где $|| x || = \sup _i | x_i |$, полупространства вида $H = y + f^{-1}( [ 0, \infty) )$, $f$ - непрерывный линейный функционал, $y \in l_\infty (R)$.  [/math]

lenmas

Есть предположение что решения вообще не существует, но хотелось бы узнать мнение того кто хорошо разбирается в функане
Думаешь, игра на том, что [math]$l^\infty$[/math] несепарабельно? В сепарабельных любое выпуклое тело представимо в виде пересечения гиперполупространств.
А какой вид имеют непрерывные линейные функционалы на [math]$l^\infty$[/math]?

begenari

Линейный функционал, если не ошибаюсь, это скалярное умножение на бесконечный вектор
Игра вот на чем: если предположить, что решение существует, то должно найтись полупространство указанного типа, которое содержит точки (0, 0.5, 0, 0, ... (0, -0.5, 0, 0, ... но не содержит точку (0, 0, 0, 0, ... отсюда можно увидеть противоречие
Вопрос: можно ли так рассуждать? Задача сформулирована так как будто решение существует

lenmas

Игра вот на чем: если предположить, что решение существует, то должно найтись полупространство указанного типа, которое содержит точки (0, 0.5, 0, 0, ... (0, -0.5, 0, 0, ... но не содержит точку (0, 0, 0, 0, ... отсюда можно увидеть противоречие
Твой пример показывает, что и в R^2 (с соответствующей норме) такое рассуждение проходит. Но в сепарабельном пространстве любое выпуклое тело можно представить счетным пересечением гиперполупространств. Так что ищи прокол в своем рассуждении.

lexa-vinni2

Множество A не выпукло, на этом и построено противоречие

kroton45

Твой пример показывает, что и в R^2 (с соответствующей норме) такое рассуждение проходит. Но в сепарабельном пространстве любое выпуклое тело можно представить счетным пересечением гиперполупространств. Так что ищи прокол в своем рассуждении.
Вообще-то, рассуждение анонимуса показывает, что множество, которое он хочет представить, невыпукло, и как раз потому не есть пересечение хоть какого семейства полупространств. В [math]$\mathbb R^2$[/math] аналог его множества тоже невыпуклый, поскольку является половиной границы квадрата.

lenmas

Множество A не выпукло, на этом и построено противоречие
Ну так тогда и очевидно, потому что пересечение выпуклых множеств всегда выпукло, а ты
берешь в качестве исходного множества невыпуклое.
Я-то думал, что там шар радиуса 1/2, а не сфера,
Извини, не заметил.

lenmas

Вообще-то, рассуждение анонимуса показывает, что множество, которое он хочет представить, невыпукло, и как раз потому не есть пересечение хоть какого семейства полупространств. В аналог его множества тоже невыпуклый, поскольку является половиной границы квадрата.
Да, спасибо, понял наконец-то.
Наверное, условие тогда кривое.

lexa-vinni2

Спасибо! Самое простое объяснение. Тема закрыта
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: