Почему с-ма ф-й {e^ixt} полна в L2(R)?

scoutalex

Из теоремы Фейера следует, что такие экспоненты полны на отрезке.
А как перейти к прямой?
Можно конечно обрубить исходную ф-ю, приблизить её на отрезке, но тогда возникнет вопрос:
а вдруг хвост у суммы экспонент будет очень велик на бесконечности?

491593

первый раз такое слышу, |e^{ix}|=1, то есть она даже не из L2(R).

scoutalex

Да, ты прав. Я забыл написать, что на R у нас сидит мера \mu, а не Лебега.
В лекциях просто написано, что эта с-ма полна без всяких пояснений :(
Это элемент док-ва из представления стационарного процесса в виде интеграла по ортогональной мере.

491593

\mu совершенно произвольная мера на R? а зачем тогда именно эта система функций рассматривается?
они же тогда вообще говоря не оротогональны.

vovatroff

Из теоремы Фейера следует, что такие экспоненты полны на отрезке.
А как перейти к прямой?
Один из вариантов - стандартный - это просто переход от ряда Фурье к
интегралу Фурье.
Аналогом равенства Парсеваля для рядов (<=> условие полноты) будет
тогда теорема Планшереля: <F, G> = <f, g> , f,g \in L2, F, G - их фурье-образы.
В этом смысле- да, система полна, если раскладывать по ней в интеграл
Фурье.
Но у вас там, похоже, меры Винера всякие имеются в виду, это совсем другое.

scoutalex

\mu совершенно произвольная мера на R? а зачем тогда именно эта система функций рассматривается?
они же тогда вообще говоря не оротогональны.
Вопрос "зачем" не ко мне должен адресовываться. Есть теорема о спектральном разложении стационарного процесса. Почему там именно e^ixt - это вопрос к тем, кто данную теорию развивал.
Ортогональность не используется, в теореме Карунена важна ТОЛЬКО полнота.
Не до конца понял предыдущий пост, но для себя, вроде как, уловил идею: любая f = преобр-е Фурье от некой g = приближаем частичными суммами, которые представляют из себя как раз-таки тригонометрические полиномы. Вопрос только в том, сможем ли мы равномерно приблизить :confused:

491593

сформулируй пожалуйста вопрос более конкретно. Все условия на меру [math]$\mu$[/math]. И что именно ты понимаешь под полной системой функций - что замыкание линейной оболочки совпадает с [math]$\L^{2}( R, \mu)$[/math]?

vovatroff

Не до конца понял предыдущий пост, но для себя, вроде как, уловил идею: любая f = преобр-е Фурье от некой g = приближаем частичными суммами, которые представляют из себя как раз-таки тригонометрические полиномы. Вопрос только в том, сможем ли мы равномерно приблизить :confused:
ну в том посте и была всего лишь идея, так что хорошо, если уловили :)
Насчет равномерности - а так ведь и для рядов Фурье на отрезке
равномерность сходимости не гарантирована. Для функций из
L2 гарантируется сходимость только в средне-квадратичном
смысле, т.е. по норме. Это и есть полнота в L2. Гарантированная
равномерная сходимость - это уже полнота в C была бы.
С интегралом Фурье все так же, см. теорему Планшереля.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: