Функан. Помогите решить задачку

Zolos

доказать некомпактность оператора в L2(-inf;+inf)
Af(x)=int(-inf;+inf)[(exp[-(x-t)^2]*f(t)]dt

h_alishov

т.к. f(x) \in L_2 => Af(x) \in L_2. Доказывать не буду, но понятно, т.к. уж очень e^{ - (x-t)^2 } хорошая функция.
2. Раз все так здорово, давайте возьмем преобразование Фурье. Чем клево:
2.1 Как известно, преобразование Фурье в L_2 сохраняет норму
2.2. Преобразование Фурье свертки есть произведение преобразований Фурье.
т.е. , если обозначить преобразование Фурье за Fx, получим:
FAf = Fg Ff, где g = e^( - x^2 ).
Раз ||Af|| = ||FAf||, значит если мы построим последовательность функций из образов Af_i которых нельзя будет выделить фундаментальную, то это будет равносильно тому, что мы это не можем сделать с FAf_i.
Вспоминаем про то, что F e ^ ( - x^2/a^2 ) =C * e^{-a^2 x^2}, где C - какая-то константа.
После этого понимаем, что если мы возьмем f_i такие что Ff_i = c_i e^ { - x^2 / i ^ 2 }, где c_i таковы, что ||Ff_i|| = 1, то получим, что при любом фиксированном i можно найти J такой, что для любого j > J будет ||FA(f_i - f_j)|| = int{-\inf, +\inf} { | Fg * F {f_i - f_j) |^2 } d\omega, но около нуля f_j большая, сильно больше, чем f_i, соответственно, их разница далека от нуля, а фиксированный "колокол" g(\omega) возле нуля почти 1, а квадрат модуля такой вещи тем более далек от нуля. В общем, если посчитать получим ||FA(f_i-f_j)|| > 0.5 начиная с некоторого J,
т.е. мы не можем выделить фундаментальную последовательность.
Прообразы Фурье функций C_i*e^ { -x^2 / i ^ 2} это 1/c C_i e^ { - i^2 x^2 } - т.е. такие все более и более пологие "колокола".
Сорри за темное объяснение, но зуб даю, что пример верный.

Zolos

а без преобразований фурье никак не обойтись? их же не было в курсе функана за 5-й семестр. а задачка с зачёта как раз за 5-й семестр
но всёравно, хоть на этом спасибо

h_alishov

Преобразования Фурье и его свойства проходятся в 4 семестре (по крайней мере на ВМиК)

Zolos

и ещё, что означает "C * e^{-a^2 x^2}"

h_alishov

То и означает. С - это какая-то константа вроде 1/ 2 pi или такого рода. Не помню, посмотри в Maple.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: