что есть сход-ть по вариации

alex124

дайте определение плз! очень срочно надо!

a7137928

Определяешь вариацию и стремишь ее к нулю, фигли.
Сходимость чего тебе нужна? Я тебе могу рассказать, как меры по вариации сходятся. Оно тебе надо?
А вообще, вариация функции на отрезке - это вот что.
Берем f на [a,b] и (неразмеченное) разбиение отрезка Т: a=a_0<...<a_n=b.
Считаем вариацию по разбиению
Var_T (f) = \sum_{0<=i<=n-1} |f(a_i)-f(a_{i+1})|
Таперь полная вариация на отрезке равна
Var(f) = \lim_{d(T) -> 0} Var_T(f)
Видимо, f_n -> f по вариации на данном отрезке, если Var(f_n-f) -> 0.

alex124

именно сходимость мер по вариации мне и нужна!

a7137928

Ах вот оно что... ну смотри тогда.
У меня вот такая шлука написана для пространства двусторонних последовательностей
с конечным алфавитом X= {1...n}^Z (пока что определим расстояние по вариации для него только):
Пусть A_n - это все симметричные цилиндрические множества длины 2n+1, то есть цилиндры вида A(a_-n ... a_n)={x\in X : x_-n=a_-n, ... x_n=a_n } Дальше на английском
Let \mu and \nu be the two measures on the space (X, F) (F is the sigma-algebra). Denote
Var(\mu | _{A_n}, \nu | _{A_n}) = 1/2 \sum_{A\in A_n} |\mu(a)-\nu(A)| = \ro_n(\mu, \nu)
Then variation distance
\ro(\mu,\nu) = \sum_n \frac 1 {2^n} \ro_n(\mu, \nu)
Таким образом, в чем заключается идея: мы рассматриваем счетную последовательность открытых множеств (только здесь мы их еще зачем-то объединяем в группы, которые и называем A_n которые составляют базу топологии. То есть, в более общем случае, когда никакой топологии нет, достаточно будет взять счетный набор множеств такой, что минимальная сигма-алгебра, которая их всех содержит, совпадает с выбранной сигма-алгеброй в нашем пространстве.
Теперь мы на каждом из этих множеств смотрим модуль разности мер. Все это суммируем с соответствующими весами 1/2^n (хорошо бы, чтобы меры были конечны).
К сожалению, это только мои предположения. У меня есть определение для пространства последовательностей, могу лишь предположить, что на общих пространствах определение выглядит так, как я описал (формулы те же, только множества или наборы множеств, участвующих в записи \ro_n, другие). Но я в этом почти уверен.
Я сейчас еще мосмотрю, может, нарою чего.

a7137928

Короче, вот определение.
Var(\mu, \nu) = sup | \int_X f d(\mu-nu) |
супремум по всем измеримым функциям.
Лемма. Var(\mu, \nu) = 2*sup | \mu(A) - \nu(A) |, супремум по всем измеримым множествам.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: