Как решить Ar_i = r_{i-1} + r_{i+1}

yuli9

как решать следующее рекуррентное уравнение?
Ar_i = r_{i-1} + r_{i+1}
Здесь A-симметричная действительная матрица
r_i - вектор-столбец
r_0 и r_1 даны
хочется выписать общую формулу для i-го члена

yuli9

я на всякий случай напишу, что решать линейные рекуррентные уравнения в ОДНОМЕРНОМ случае я умею
и не нужно говорить, что для матриц все АНАЛОГИЧНО, т.к. в одномерном стучае задача сводится к решению квадратного уравнения, которое имеет 1 или 2 корня
В матричном случае квадратное уравнение имеет КОНТИНУУМ решений, что ставит меня в тупик при построении аналогии

mong

филдса будем всем форумом получать ! :D

Vlad128

Ага, я понял, те задачи про рациональные числа были для затравки.

19fater57

филдса будем всем форумом получать !
филдса за это не дадут :o

19fater57

Ага, я понял, те задачи про рациональные числа были для затравки.
нет, я те задачи, связанные с рациональными числами, тоже не знал как делать и они с этой не связаны :)

yuli9

забыл залогиниться

mong

ну тогда хотябы диплом мм ? :D

yuli9

вообще говоря, решать задачу не требуется
видимо. она достаточно сложная для решения с нуля
но, по моему она уже давно решена
и я прошу знающих людей выписать решение
либо подсказать книгу или интернет ресурс, где про это можно почитать :) :o :confused:

yuli9

ну тогда хотябы диплом мм ?
это не диплом. я клянусь!
я на 4-м курсе и мне нужно решение этого уравнения для доказательства одной из лемм моего курсача.
я почти уверен, что эта задача уже кем-то решена и не хочу заново изобретать велосипед

Suebaby

а как ты так решаешь одномерный аналог, что решение дословно не переводится? Казалось бы, такие же матрицы 2х2, только здесь блочные, составленные из матриц, а там обычные, из чисел ...

yuli9

а как ты так решаешь одномерный аналог, что решение дословно не переводится? Казалось бы, такие же матрицы 2х2, только здесь блочные, составленные из матриц, а там обычные, из чисел ...
я написал во втором посте по каким причинам мне не удается провести аналогию влоб.
если у тебя есть идеи для других аналогий я с радостью их выслушаю(то, что ты предлагаешь в предыдущем посте я не понял)

mong

а тебе в каком виде-то надо общую формулу ? :confused:

yuli9

а как ты так решаешь одномерный аналог,
выписываю уравнение
Ax=x^2+1
нахожу корни x_1 и x_2
пишу r_i=C_1*(x_1)^i+C_2*(x_2)^i
нахожу с_1 и с_2 из начальных условий

yuli9

а тебе в каком виде-то надо общую формулу ?
в одномерном случае, например, r_i=C_1*(x_1)^i+C_2*(x_2)^i
есть подозрение, что в матричном случае тоже что-то такое есть

Suebaby

я написал во втором посте по каким причинам мне не удается провести аналогию влоб.если у тебя есть идеи для других аналогий я с радостью их выслушаю(то, что ты предлагаешь в предыдущем посте я не понял)
я предлагаю обозначить (r_{i+1}, r_i) за v_i (это будет вектор в 2 раза большей размерности) и записать как v_i зависит от v_{i-1}.
То что ты написал — это не решение, а метод вычисления ответа. Если бы ты знал, почему этот метод приводит к верному ответу (см.выше ты бы легко обобщил его на случай матриц.

yuli9

То что ты написал — это не решение, а метод вычисления ответа. Если бы ты знал, почему этот метод приводит к верному ответу (см.выше ты бы легко обобщил его на случай матриц.
С первым предложением полностью согласен.
Почему этот метод приводит к правильному ответу я знаю, тем не менее обобщить не могу :(

surm1988

Возможно, я что-то не так поняла, но если A — конкретная заданная симметричная матрица, то кажется логичным привести ее к диагональному виду, в полученном новом базисе решить n одномерных уравнений, выписать формулу общего вектора-решения, а потом вернуться в исходный базис линейной заменой кординат... Не пойдет?

lenmas

я предлагаю обозначить (r_{i+1}, r_i) за v_i (это будет вектор в 2 раза большей размерности) и записать как v_i зависит от v_{i-1}.
И получит он ответ в виде большой матрицы в n-ой степени :grin:
Это как числа Фибоначчи можно записать в виде степени некоторой матрицы 2x2, формула красивая, но толку мало, все равно эту степень придется вычислять с помощью собственных значений :)

mtk79

по-моему, товарищ на спор с кем-то заявил, что освоит за неделю избранные (различные) главы алгебры — причем не открывая книгу, а посредством обращения к массам

Suebaby

И получит он ответ в виде большой матрицы в n-ой степени
мне кажется, что свести задачу к вопросу "как выражается n-я степень блочной матрицы -A,11,0 через матрицу A?" уже неплохо. Вопрос этот тоже вполне решается, в ответе дрянные суммы всякие.

yuli9

по-моему, товарищ на спор с кем-то заявил, что освоит за неделю избранные (различные) главы алгебры — причем не открывая книгу, а посредством обращения к массам
не угадал

yuli9

я предлагаю обозначить (r_{i+1}, r_i) за v_i (это будет вектор в 2 раза большей размерности) и записать как v_i зависит от v_{i-1}. То что ты написал — это не решение, а метод вычисления ответа. Если бы ты знал, почему этот метод приводит к верному ответу (см.выше ты бы легко обобщил его на случай матриц.
хорошая идея!
я ее сразу не оценил

lenmas

Забавно, что характеристический полином этой блочной матрицы будет det(lambda^2-lambda*A+I)=0, то-есть опять вылазит твое уравнение, только со скаляром вместо X :grin:
Или по-другому det(A-(lambda+1/lambda)I)=0, то-есть нужно находить собственные числа А, а потом для каждого из них еще решать квадратные уравнения типа lambda+1/lambda=lambda_k. А оттуда как полезут комплексные корни! :cool:
Зато собственные векторы легко через собственные векторы А выражаются типа (lambda*v_k,v_k где v_k соответствуют собственным числам lambda_k. :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: