несколько вопросов про УРЧП и ряды Фурье

vtdom79

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, освежить память, а то забыл немного теорию.
Я решаю следующее уравнение на прогиб пластинки в области [math]$x\in[0,L],y\in[0,W]$[/math]
 [math]  \begin{equation*}  \begin{gathered}  D_{11}w_{,xxxx}+2(D_{12}+2D_{66})w_{,xxyy} + D_{22}w_{,yyyy}=C_1R_{,xx} + C_2R_{,yy}\\  \left.w\right|_{x=0,L}=\left.w\right|_{y=0,W} = 0\\  \left.w_{,xx}\right|_{x=0,L}=\left.w_{,yy}\right|_{y=0,W} = 0,  \end{gathered}  \end{equation*}  [/math]
где [math]$R(x,y)=(H(x-x_1)-H(x-x_2H(y-y_1)-H(y-y_2$[/math] - равна 1 при [math]$x\in[x_1,x_2],y\in[y_1,y_2]$[/math] и равна нулю в остальных точках (H - функция Хевисайда). R,xx и R,yy тогда будут содержать производные дельта-функций.
Пытаюсь получить что-то вроде аналитического решения, для этого правую часть раскладываю в ряд Фурье [math]$\sum\alpha_{ij}sin(\cfrac\pi L i x)sin(\cfrac\pi W j y)$[/math], нахожу коэффициенты [math]$\alpha_{ij}$[/math] и получаю формулу для w в виде ряда. Первый вопрос - насколько корректно применять разложение в ряд фурье для нагрузки в виде обобщенных функций?
В качестве альтернативы пытаюсь применить преобразование Фурье к этому уравнению. Получаю следующее изображение функции w:
[math]  $$  \hat w(\lambda_1,\lambda_2) =\cfrac{ (C_1 \cfrac{\lambda_1}{\lambda_2} + C_2 \cfrac{\lambda_2}{\lambda_1})}{D_{11}\lambda_1^4 + 2(D_{12}+2D_{66})\lambda_1^2\lambda_2^2 + D_{22}\lambda_2^4} (e^{-\lambda_1x_2} - e^{-\lambda_1x_1} e^{-\lambda_2y_2} - e^{-\lambda_2y_1} )  $$  [/math]
Второй вопрос - насколько реально применить обратное преобразование Фурье к этому изображению и получить решение w(x,y)?
И третий вопрос - корректно ли все то же самое для задачи на той же прямоугольной области [math]$x\in[0,L],y\in[0,W]$[/math]
 [math]  \begin{equation*}  \begin{gathered}  H{,xx}+H{,yy}=C+\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\\  \left.H\right|_{y=0}=0\\  \left.H_{,x}\right|_{x=0,L}=\left.H_{,y}\right|_{y=W} = 0,  \end{gathered}  \end{equation*}  [/math]
то есть разложение правой части в виде [math]$\sum\alpha_{ij}cos(\cfrac\pi L i x)sin(\cfrac\pi W( j+\frac12) y)$[/math] и попытка сделать преобразование Фурье и по изображению найти исходную функцию?

BSCurt

Ну как я понимаю дельта функцию можно раскладывать в ряд Фурье в смысле обобщенных функций, это в Гельфанд Шилов «Обобщённые функции и действия над ними» есть, там же можно почитать что-нибудь про преобразование Фурье над обобщенными функциями.
И третий вопрос -
Э-э, я правильно понимаю что это уравнение Лапласа?

vtdom79

Да, второе уравнение - это уравнение Пуассона (Лапласа, насколько я знаю, это если правая часть равна нулю)
Коэффициенты фурье в первой задаче я считаю, беря интегралы типа [math]$\int \delta(x-x_1)_{,x}sin (\cfrac \pi L i x)dx = - sin'(\cfrac \pi L i x_1) = -\cfrac \pi L i cos(\cfrac \pi L i x_1)$[/math]

BSCurt

Вроде похоже на правду.

vtdom79

Кстати, если решение в виде ряда - правильное, то тогда при применении преобразований фурье должно получиться то же самое решение? Или может получиться формула покомпактней?

BSCurt

Ладно тут пожалуй всё-таки нужен какой-нибудь годный дифурист, а не я. Но странно, если бы получились разные.
Любопытно из какого класса будет решение.

seregaohota

Любопытно из какого класса будет решение.
из [math]$C^1$[/math] наверно как и дважды проинтегрированная функция Хевисайда. Со скачком более высоких производных на границе разрыва приложенной нагрузки.
В сопромате нагрузки в виде сосредоточенных сил или моментов дельта функция и её производные.
Если заколебёшься с обобщёнными функциями по физическому смыслу можно заменить очевидно твою исходную нагрузку гладкой нагрузкой с переходом на границе размера [math]$\varepsilon$[/math] и с переходом к пределу.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: