Пересечение цилиндра с шаром

k11122nu

Есть большой цилиндр и маленький шар, пересекающиеся.
Хотелось бы знать площадь поверхности шара, торчащей вне цилиндра.
Численно все нашлось, но аналитически я не справился ни на бумажке, ни в Математике.
Может, кто что посоветует?
Да, и еще. Если вдруг дадите формулу хотя бы с одинарным интегралом, буду рад. Пока интегрирую по двум углам.

DarkDimazzz

Центр шара на оси цилиндра или в произвольной точке?

a7137928

Если бы центр шара на оси цилиндра, то там нефиг делать, потому что поверхность вращения.
Видимо, пересечение какое угодно.

sagemma

исходя из
большой цилиндр и маленький шар
я бы сказал, что центр шара не может быть на оси цилидра.
Хотя фиг знает, что под этим понимает автор задачи :)

k11122nu

Центр шара в произвольной точке. Если это упростит, можно считать, что центр шара в пределах цилиндра, хотя общее решение интереснее.
Радиус цилиндра больше радиуса шара.

svetik5623190

Плюс ко всему, цилиндр, верноятно, предполагается бесконечным, да?

k11122nu

да

seregaohota

Радиус цилиндра R, шара r, расстояние от оси цилиндра до центра шара a.
a<R, r<R, a+r>R.
Длина хорды на расстоянии x от центра шара (вырезается шаром из прямой, параллельной оси цилиндра)
L = 2 sqrt(r^2 - x^2).
Рассматриваю плоскость перпендикулярную оси цилиндра из центра шара, она пересекает цилиндр и шар по окружностям радиусов R и r. Перпендикуляр из центра шара на ось цилиндра даст точку которую назову центр цилиндра. В треугольнике с двумя вершинами в центрах цилиндра и шара а с третьей в точке пересечения окружностей со сторонами a,r и R внешний угол легко считается
\phi = arccos( (R^2-a^2-r^2) / (2ar) )
Отсюда легко считается длина дуги маленькой окружности радиуса r вне цилиндра
\ell = 2 r arccos( (R^2-a^2-r^2) / (2ar) )
Если маленькая окружность радиуса x - всё аналогично.
\ell = 2 x arccos( (R^2-a^2-x^2) / (2ax) )
Интегрируя получим объём шара вне цилиндра
V(r) = \int_{R-a}^{r} 2 sqrt(r^2 - x^2) 2 x arccos( (R^2-a^2-x^2) / (2ax) ) dx
Производная от него по r искомая площадь поверхности
S(r) = \int_{R-a}^{r} (2r/ sqrt(r^2 - x^2 2 x arccos( (R^2-a^2-x^2) / (2ax) ) dx

z731a

у меня вот такая херь получилась)
[math]$=4\int\limits_0^{r^2-(R-A)^2}dz \int\limits_0^{\sqrt{R^2-\frac1{2A}(R^2+A^2+z^2-r^2)^2}} \frac r{\sqrt{r^2-y^2-z^2}}dy$[/math]

seregaohota

Задание топикстартеру посчитать всё и сравнить между собой. И доложиться :)

svetik5623190

И доложиться...
начальству :grin:

mtk79

Производная от него по r искомая площадь поверхности
А почему?

a7137928

А почему?
Кстати да
Тело "шар без куска" не является центрально-симметричным. Фокус с производной по r будет работать при таких условиях?

seregaohota

В данном случае будет, так как V(r+dr)-V(r) это объём тонкого шарового слоя толщины dr, вырезанного цилиндром, который с точностью до бесконечно малых равен площадь основания умножить на высоту: S(r)dr, значит
V' = \lim ( V(r+dr)-V(r) ) / dr = S(r)

mtk79

Так в этом вся и соль: в объемной фигуре "внешняя по отношению к цилиндру часть шара" я не вижу шаровых слоев.
Грубо говоря, сохраняя 1-линию пересечения Цил. и Сферы и гомотопически деформируя 2-границу их внутренностей, мы получим несоответствие этому дифференцированию объема по радиусу

iri3955

Чё-т у тебя под корнем в пределе интегрирования размерности не совпадают...

iri3955

Не, всё нормально.
Тупо по определению.
объём разности двух шаров радиусов r+dr и r за вычетом цилиндра, как раз площадь сферы радиуса r (тоже за вычетом) умноженной на dr с точностью до
O(dr^2)

seregaohota

Вот тебе двумерный аналог:

Если расстояние от центра до прямой a, радиусы r и r+dr, то площадь сегмента между прямой и окружностью (он тут не закрашен)
S(r) = r^2 arccos(a/r) - a sqrt(r^2 - a^2)
длина дуги, отсечённой прямой
L(r) = 2 r arccos(a/r)
При этом S' = L
То же и в трёхмерном случае. "Физика" этого дела в том, что 2 светлосереньких криволинейных треугольника имеют площадь порядка dr^2, а также в том, что площадь тёмносерого криволинейного прямоугольника со сторонами L и dr отличается от их произведения Ldr т.е. от площади распрямлённого прямоугольника на величину порядка dr^2 и эту разницу кстати вроде в дифф. геометрии берут как характеристику кривизны.
Чтобы это дифференцирование объёма V для получения площади поверхности проходило, необходимы 2 условия
1) существует такая криволинейная система координат и дифференцирование идёт по одной из координат, такой, что её базисный вектор e_r = dR/dr (R радиус-вектор в декартовой сист.коорд.) единичной длины и перепендикулярен в каждой точке рассматриваемой поверхности r=const, т.е. совпадает с нормалью к ней и компоненты метрического тензора g_{rr}=1, короче dr может рассматриваться как высота, причём dr это расстояние между поверхностями S(r) и S(r+dr)
2) все точки линии пересечения S с ограничивающими поверхностями (с цилиндром в нашем случае) общего положения, т.е. поверхности S (шара) и ограничивающая (цилиндра) не касаются. Другими словами в нашем случае нормаль к поверхности шара S и ограничивающего цилиндра не (анти)параллельны. (этим обеспечивается, что "светлосеренький" объёмчик у границы o(... и им можно пренебречь)
Тогда обеспечивается V(r+dr) - V(r) = S(r)dr + o(dr) и можно дифференцировать.
В 3-хмерном пространстве всё так же, как на моей плоской картинке. Анекдот, который рассказывается студентам при обсуждении 2-кратных и 3-кратных (n-кратных) интегралов:
- Джон, наш сын Джек достаточно подрос, ему надо деликатно объяснить, откуда берутся дети.
- А как это?
- Ну расскажи там, бабочки-цветочки, кошечки-собачки, а у людей то же самое.
....
- Джек, ты с горничной спишь?
- Да папа.
- Мама просила передать, что у кошечек-собачек всё то же самое.

k11122nu

Извиняюсь, что сразу не ответил, был очень — ну, не то чтобы занят, но на подумать не было времени и сил.
Решение Кса показалось верным. Это аналитически. Однако численно получается что-то не то. Но я не уверен, что численно нигде не напортачил, проверю и сегодня к ночи сообщу окончательный результат.
Огромное спасибо.

seregaohota

Возьми какой-нибудь предельный случай для тестов, например я не проверял даст ли моя формула половину поверхности сферы если отрезать плоскостью половинку, т.е. в пределе взять a=R и устремить их к бесконечности по сравнению с r. И что даёт твой численный расчёт в этом случае.
Может ещё какие тесты можно придумать. Но на ночь глядя в голову не приходит ничего.

seregaohota

Для горбушки, отререзанной от сферы плоскостью по идее должна быть формула для площади в каких-нибудь учебниках-справочниках по школьной геометрии, а может в интернете.
Тогда взяв R-a=const и устремив R к бесконечности получим в пределе из цилиндра плоскость и срезанную горбушку. Должно бы сходиться с ответом. :confused:

seregaohota

искомая площадь поверхности
S(r) = \int_{R-a}^{r} (2r/ sqrt(r^2 - x^2 2 x arccos( (R^2-a^2-x^2) / (2ax) ) dx
Заменой t=x/r сводится к интегралу
S(r) = 4r^2 \int_{t_1}^1 t arccos( ( (R^2-a^2)/r^2 - t^2) / (2 a/r t) ) / sqrt(1 - t^2) dt
где t_1 = (R-a)/r > 0. При a=R получим
S(r) = 4r^2 \int_0^1 t arccos( - r t / (2 a) ) / sqrt(1 - t^2) dt
в пределе при r/a \to 0
S(r) = 2 \pi r^2 \int_0^1 t / sqrt(1 - t^2) dt = 2 \pi r^2
то есть у меня сошлось с площадью полусферы при отсечении половинки сферы плоскостью (предел при радиусе цилиндра к бесконечности).

k11122nu

Спасибо, похоже, все верно :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: