Задачи по комплану

Julia080682

Итак, у нас есть конформное в точке z отображение - дифференциал которого есть композиция поворота относительно точки z на угол a и гомотетии с коэффициентом k и центром z.
 
Читаю свойства конформных отображений, и они гласят, что
1). они переводят малые окрестности в гладкие кривые, в первом порядке совпадающие с окружностями
2). они сохраняют углы между дугами
 
У меня не получается разобраться вот с чем:
что значит, что окрестности переходят в кривые, в первом порядке совпадающие с окружностями,
и какие именно углы оно сохраняет (тут более-менее ясно, что в малой окрестности точки z можно считать, что происходит чистый поворот плоскости без деформации, и можно считать, что вообще всё сохраняется, но правильно ли я это понимаю?).
 
 

blackout

) Окрестность не может перейти в кривую, у них размерности не совпадают :)
2) Угол между двумя кривыми в точке их пересечения это угол между их касательными в этой точке. Он и сохраняется.

svetik5623190

2) Угол между двумя кривыми в точке их пересечения это угол между их касательными в этой точке
А касательные - это прямые. Таким образом, если линеаризовать конформное отображение вблизи точки конформности, то получим оператор, сохраняющий углы.

vokus

Прозреваю ботву по корявой пдф-ке с мехмат.нета.
Про 1) можно сказать, например, что пусть у нас есть окружность [math]$|z - z_0| = \varepsilon$[/math]. Тогда [math]$|f(z) - f(z_0)| = |f'(z_0)| \varepsilon + o(|z-z_0|)$[/math]. То есть это кривая, расстояние от которой до окружности [math]$|f(z)-f(z_0)| = |f'(z_0)|\varepsilon$[/math] есть о малое от радиуса исходной окружности, что и означает "приближение в первом порядке".
У тебя тоже завтра гос? ;)

Julia080682

Ну там, наверное, имеется в виду окружность. А куда переходит окружность при конформном отображении?

Я не понимаю, почему оно сохраняет углы. Углы между касательными в точке z оно, конечно, сохраняет абсолютно... Но в другой точке...

blackout

) Окружность переходит в окружность или прямую.
2) Конформное в точке значит конформное в некоторой окрестности точки. Ну и для любой точки этой окрестности углы сохраняются по определению.

assasin

Конформное в точке значит конформное в некоторой окрестности точки.
Нет. Конформность в точке означает существование ненулевой производной в этой точке и больше ничего. В других точках даже непрерывность нельзя гарантировать.

Julia080682

Ещё есть вопрос.
В курсе, который я читаю, голоморфность экспоненты доказывается в лоб, расписывая z=x+iy и проверяя выполнение условий Коши-Римана. После чего ясно, что её производная по z равна производной по x. Продифференцировав по x, мы сразу видим, что если бы мы забыли про то, что z комплексное и дифференцировали бы формально как по вещественному, результат совпал бы.
Для дробно-линейных отображений сразу постулируется, что можно дифференцировать по комплексному z как по действительному. Мне это не очевидно. :( Я действительно не вижу чего-то простого, или в курсе просто опустили проверку условий Коши-Римана и доказательство того, что результат совпадает?

blackout

Частное голоморфных функций голоморфно там, где определено. Так же как сумма, произведение и суперпозиция.

Julia080682

Любую голоморфную функцию, получается, можно дифференцировать как обычную?
Почему для экспоненты потребовалось доказать голоморфность в лоб, и почему она вводится как второй замечательный предел?

У меня остался ещё вопрос: почему формула суммы геометрической прогрессии верна для комплексных чисел? Как это проверить?

blackout

Любую голоморфную функцию, получается, можно дифференцировать как обычную?
Да.
Чтобы говорить про экспоненту нужно сначала определить, что такое возведение в комплексную степень. А для этого и используется экспонента (тут могу соврать).
Формула суммы геометрической прогрессии выводится так-же, как и в действительном случае.

Vlad128

1) Окружность переходит в окружность или прямую.
тут ты нагнал, конечно. Перепутал с дробно-линейными.

Vlad128

Я не понимаю, почему оно сохраняет углы. Углы между касательными в точке z оно, конечно, сохраняет абсолютно... Но в другой точке...
Ты просто про преобразование f(z) = w * z, где w — комплексное? Ну так это просто поворот всей плоскости с гомотетией, углы сохраняются по свойствам каждого из этих отображений.
Конформное отображение будет в каждой точке локально похоже на это преобразование.

Julia080682

Это да, это я уже посчитала, проверила... Всё в порядке. :) А вот то, у которого только в самой точке z дифференциал является композицией поворота и гомотетии? Оно только в самой z углы сохраняет?

То есть для геометрической прогрессии записывается обычная частная сумма ряда, и видно, что на комплексной плоскости она сходится к 1/(1-z)?

Почему голоморфную функцию можно дифференцировать как обычную? Например, z в натуральной степени n.

Suebaby

То есть для геометрической прогрессии записывается обычная частная сумма ряда, и видно, что на комплексной плоскости она сходится к 1/(1-z)? 
ага, а сходится она по той причине, что сходится абсолютно.
Почему голоморфную функцию можно дифференцировать как обычную? Например, z в натуральной степени n.
например потому что одно из определений комплексной производной буквально повторяет определение вещественной. Поэтому формулы для производной суммы и для производной произведения такие же.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: