Теорема о несобственных интегралах

turik

Узнал тут от однокурсников, что преподаватель говорил, что на контрольной можно пользоваться следующим фактом:
[math]$\int\limits_0^\infty f(x)dx=\frac{1}{2}\int\limits_{-\infty}^\infty f(x)dx$[/math]
И ведь действительно пользовались, и соответствующие задачи им зачли - так что, видимо, какой-то такой факт всё-таки есть.
При попытке уточнить, почему они считают это истиной - начинают нести какой-то бред вроде того, что если у [math]$\int\limits_{-\infty}^0f(x)dx$[/math] поменять пределы интегрирования, то там (якобы, для любой функции) возникнут два минуса, которые сократятся, и получится в точности [math]$\int\limits_0^\infty f(x)dx$[/math] (хотя на самом-то деле получится [math]$\int\limits_0^\infty\left(-f(-x)dx\right)$[/math], а сократить эти два минуса надо ещё постараться).
Что это за теорема, какие ограничения там накладываются на f(x) (очевидно, что в общем случае утверждение неверно какие ключевые слова для гуглинга?
Речь, конечно же, идёт не о чётных функциях - а, в частности, о чём-то вроде [math]$\frac{e^{ix}}{x^2+ax+b}$[/math].

toxin

Функция должна быть четной. КО

mtk79

ничего, кроме того, что написал КО, нет.
Для того случая, что с экспонентой — то только в случае а=0, b>0 утверждение будет
\int_{-\infty}^{\infty} exp(ix)/Z =1/2*\int_0^{\infty} \cos(x)/Z
опять же из-за четности косинуса и нечетности синуса

incwizitor

ничего, кроме того, что написал КО, нет.
да лана, ща придумаем
равенство выполняется для функций, которые отличны от нуля на множестве точек, имеющем жорданову меру 0 :grin:

Vlad128

Эту функцию можно назвать «почти четной»

ppp2805107

даже наверное "почти наверное "

Vlad128

почти всюду, а не почти наверное.

shpanenoc

ничего, кроме того, что написал КО, нет.
Ты хотел сказать, что не существует иных общеизвестных классов функций, в которых справедливо данное утверждение.
А указать какой-нибудь класс функций не составляет труда :) Например, все функции-индикаторы множеств, мера положительной части которых совпадает с мерой отрицательной части.

turik

Функция должна быть четной. КО
ничего, кроме того, что написал КО, нет.
То есть, для функции вида [math]$\frac{e^{ix}}{x^2+ax+b}$[/math], о которой я писал в первом посте (естественно, [math]$b \ne \left(\frac{a}{2}\right)^2$[/math]) утверждение всё-таки неверно?
Странно, потому что этим утверждением на контрольной пользовался как минимум один студент, и ему эту задачу зачли.

Vlad128

Ну ты же об этой функции не сразу написал. А так да, класс этих функций так и описывается: функции с подобным свойством. Их напридумывать можно много.

griz_a

По-моему, если a=2k pi, то функция симметрична относительно точки -k pi
Таким образом, утверждается, что интеграл от 0 до -k pi будет 0.
Чего-то в это мне не верится, особенно при любом b )

turik

Ну ты же об этой функции не сразу написал.
В первом посте в конце упоминается эта функция.
А так да, класс этих функций так и описывается: функции с подобным свойством. Их напридумывать можно много.
Понятно, что функции с подобным свойством обладают этим свойством. Вопрос в том, в каких случаях при решении задач можно сказать "эта функция обладает нужным свойством, воспользуемся им".

lena1978

очевидно: тогда, когда функция принадлежит этому классу

turik

По-моему, если a=2k pi, то функция симметрична относительно точки -k pi
Таким образом, утверждается, что интеграл от 0 до -k pi будет 0.
Чего-то в это мне не верится, особенно при любом b )
Значит, для таких функций в общем виде утверждение всё-таки неверно. В конкретных задачах и a, и b были целыми (более того - у знаменателя было два целых различных корня).

Vlad128

Вопрос в том, в каких случаях при решении задач можно сказать "эта функция обладает нужным свойством, воспользуемся им".
Нет слов, одни эмоции. Вот когда ты можешь сказать о функции, что «она непрерывна, воспользуемся этим»?

turik

Например, для функции [math]$\frac{e^{ix}}{x^2+ax+b}$[/math] очевидна её непрерывность во всех точках, кроме корней знаменателя. То, что она обладает искомым свойством - совершенно неочевидно (и, как оказалось, ещё и неверно).
И как-то глупо на вопрос "какие функции обладают этим свойством?" отвечать "все функции, обладающие этим свойством".

Vlad128

Например, для функции [math]$e^{-x^2}$[/math] очевидно выполнение интересующего тебя свойства.
Я же тебя не просил пример привести, я тебя просил ответить на аналогичный твоему вопрос: «Когда ...?»

chepa02

у знаменателя было два целых различных корня
= знаменатель равен x^2-1

turik

Например, для функции очевидно выполнение интересующего тебя свойства.

Речь, конечно же, идёт не о чётных функциях - а, в частности, о чём-то вроде [math]$\frac{e^{ix}}{x^2+ax+b}$[/math].

Vlad128

Да, вот ответь на вопрос: «Какие функции являются непрерывными?»

turik

Скажу тебе точно: один из знаменателей в задачах был равен x^2+5x+4.
То, что утверждение верно для чётных функций, и без заведения этого треда было очевидно.

Vlad128

Это тут причем? Можешь привести пример функции, не являющейся четной. Например сдвинув правую половинку вправо на 1, а на отрезке [0,1] объявить нулевой. Ну или любой другой пример.

turik

Определим класс функций такой, что:
f(x) = const содержится в этом классе
f(x) = x содержится в этом классе
f(x) = sin(x) содержится в этом классе
f(x) = cos(x) содержится в этом классе
f(x) = e^x содержится в этом классе
если f(x) и g(x) содержатся в этом классе, то f(x)+g(x f(x)-g(x f(x)g(x f(g(x содержатся в этом классе
Этот класс является подмножеством непрерывных функций, это утверждение очень полезно при решении задач. Другое полезное утверждение - если f(x) и g(x) содержатся в этом классе, то f(x)/g(x) непрерывна во всех точках, кроме тех, в которых g(x) обращается в ноль; это тоже очень полезное утверждение при решении задач.

turik

Я тут уже постил задачу, функция, определённой в ней, обладает этим свойством. Вопрос - почему это так, почему этим можно пользоваться?
Можешь не рассказывать мне, какие манипуляции можно проделывать с чётными функциями, чтобы свойство продолжало для них выполняться. Мне не нужно знать, как получить такую функцию, мне нужно знать, почему некоторые функции (примеры которых я уже постил в этом треде) обладают нужным свойством.

Vlad128

И что?

Vlad128

мне нужно знать, почему некоторые функции (примеры которых я уже постил в этом треде) обладают нужным свойством.
ну ты же понимаешь, что если функция не удовлетворяет этому свойству, то ее можно нормировать или вообще изменить на сколь угодно малом множестве, чтобы она стала удовлетворять (при условии, что интеграл вообще сходится). Так что сложно углядеть другую причину, кроме той, что функция этому свойству таки удовлетворяет.

turik

ну ты же понимаешь, что если функция не удовлетворяет этому свойству, то ее можно нормировать или вообще изменить на сколь угодно малом множестве
Кажется, из этого треда ты бы должен был уже понять, что речь идёт не о функциях, которые и записать-то нельзя, а о простых функциях вроде [math]$\frac{x\sin x}{x^2+5x+4}$[/math]
Так что сложно углядеть другую причину, кроме той, что функция этому свойству таки удовлетворяет.
Скажи мне, какой смысл тратить своё время, трафик интернета и память форума на то, чтобы написать "почему такая-то функция удовлетворяет этому свойству? сложно углядеть другую причину, кроме той, что функция этому свойству таки удовлетворяет"?

Vlad128

Или так: допустим ты нашел какой-то формальный критерий проверки/достаточное условие или любое другое удобное средство для исследования этого свойства. Им можно пользоваться для сравнения несобственных интегралов [math]$\int_0^\infty$[/math] от произвольных функций f(x) и g(x). Не кажется тебе это маловероятным?
Т.е. какое условие на две функции f(x) и g(x чтобы интегралы от них были равны? Ну что за жесть? Какого вида условия вообще тут можно ожидать? Надо в каждом конкретном случае исследовать и все. f(x) при x > 0 и x < 0 вообще никак не связаны (максимум локально вблизи нуля из-за непрерывности/дифференцируемости).

turik

Или так: допустим ты нашел какой-то формальный критерий проверки/достаточное условие или любое другое удобное средство для исследования этого свойства. Им можно пользоваться для сравнения несобственных интегралов [math]$\int_0^\infty$[/math] от произвольных функций f(x) и g(x). Не кажется тебе это маловероятным?
Ты бредишь.
Воспользовавшись твоей же аналогией про непрерывные функции:

допустим ты нашел какой-то формальный критерий проверки/достаточное условие или любое другое удобное средство для исследования свойства непрерывности. Им можно пользоваться для определения непрерывности произвольного элемента из R^R. Не кажется тебе это маловероятным?
Конечно, кажется маловероятным - потому что речь-то идёт не о произвольных различных f и g, а о красиво записывающейся f.
f(x) при x > 0 и x < 0 вообще никак не связаны (максимум локально вблизи нуля из-за непрерывности/дифференцируемости).
Так нас-то не сама f(x) интересует, а некоторые её свойства.
Например, хотя значения f(x) для комплексных x вообще никак не связаны при совсем разных углах x - есть лемма жордана, довольно сильное свойство для этой функции, и никак не связанное с локальной окрестностью нуля. Вот послушал бы тебя жордан, поверил бы тебе - и не стал бы и возиться со всем этим, и не было бы у нас леммы жордана.

griz_a

Очень показательный пример был приведен с sinx x/ (x^2+5x+4)
Один из интегралов расходится из-за точек -4 и -1, а второй сходится

griz_a

Вообще если интересно считать интеграл [math]$\int\limits_{R} \frac{e^{ix}}{x^2+ax+b}$[/math], где b больше [math]$(a/2)^2$[/math] (иначе интеграл разойдется то особо фантазировать не приходится. Делается замена [math]$\frac{x+a/2}{\sqrt{b-(a/2)^2}}=y$[/math], интеграл сводится к
[math]$\frac{e^{itx}}{x^2+1}$[/math], t>0
Теперь надо рассмотреть предел при R стремящемся к бесконечности интеграла по (-R,R замкнуть верхней полуокружностью, интеграл по ней мажорируется [math]$2\pi \frac R{R^2+1}$[/math], то есть стремится к 0. Значит искомый интеграл равен вычету в точке i, это полюс, вычет в котором считается довольно просто - [math]$\lim\limits_{z\rightarrow i} (z-i)e^{itz}/{z^2+1} =e^{-t}/2i$[/math]
Комбинируя всё вместе получаем [math]$e^{-\sqrt{b-(a/2)^2}-ai/2}/2i$[/math], если я не обсчитался.

turik

Ну да, интеграл от -\infty до \infty как-то так и считаем :)

griz_a

А от нуля он, по-моему, к функции Лапласа в переменной точке сводится или к чему-то подобному. Не самая считабельная штука.

turik

Ну значит, кто-то из тех студентов всё-таки что-то перепутал даже когда условие задачи рассказывал :)
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: