Задача на сходимость

satyana

A_n : L_1[R] -> L_1[R]
A_n(f) = f(x-n) - f(x+n)
К чему и как сходится A_n? (Исследовать на сходимость)

NHGKU2

по-моему, сходится по норме к оператору Af=\sqrt(2)f

satyana

а можно ли поподробнее?
а то я про сходимости вообще почти ничего не знаю...

NHGKU2

не, нагнал я...
все что удалось выяснить:
1) ||A_n(f)||^2 = 2||f||^2 - 2 (f(x+nf(x-n. (это следует из формулы квадрата разности.)
2) (f(x+nf(x-n = (f(xf(x+2n = (f(xf(x-2n (тривиальные замены в интегралах следовательно (f(xA_{2n}(f=0 для любой f.
что из этого извлечь, еще не придумал...

h_alishov

1) ||A_n(f)||^2 = 2||f||^2 - 2 (f(x+nf(x-n. (это следует из формулы квадрата разности.)

Верно ли, что (f(x+nf(x-n - это скалярное произведение? Если да, то это что-то странное, т.к. у нас L_1, а не L_2

NHGKU2


и правда L_1... сорри, не досмотрел, думал, что L_2
но тогда задача становится тривиальной:
||A_n(f)||=\int_R (f(x-n)-f(x+ndx=||f||-||f||=0 для всех натуральных n.
значит, A_n сходятся по норме к 0.
или я что-то путаю?..

h_alishov

||A_n(f)||=\int_R | (f(x-n)-f(x+n | dx

NHGKU2

мда... опять облажался =(

Sanych

По норме не сходится. Если бы не L_1, то могло бы слабо сходиться к 0. А так для линейного функционала вроде int(x>0)-int(x<0) получим не 0 в пределе для ступеньки f, равной 1 на отрезке [-0.5,0.5]. А если рассмотреть что-нибудь похитрее, вроде интеграла с знакочередующейся функцией периода 2, то вообще предела не будет.
Так что для такой функции A_n(f) не сходится в L_1 никаким из известных мне способов. Поэтому, вероятно, предела вовсе нет.

sanosik

правильно ли мы думаем, что сходимость имеется в виду при n \to \infty ?

sanosik

можно рассматривать L_1 как часть пространства D' или S' обобщенных функций
тогда сходится к нулю каждый оператор сдвига f(x) \mapsto f(x+n)
и f(x) \mapsto f(x-n) и их разность поэтому тоже к нулю

satyana

да

satyana

так хитро не надо, я так предполагаю. Я про такие пространства вообще не слышал пока что...

sanosik

проще так: скажем, что f_n сходится к f если
для каждой финитной непрерывной функции g
\int f_n(x) g(x) dx \to \int f(x) g(x) dx.
(интегралы брать по всей прямой; финитная --- которая отличается от нуля только на ограниченном множестве (своем для каждой такой функции.
Соответственно, считаем что A_n \to A, если для каждого f из L_1(R)
последовательность f_n = A_n(f) сходится к Af указанным выше образом.
При такой сходимости тоже к нулю.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: