Аналитическое решение УЧП

Brina

А не знает ли кто-нибудь решения уравнения
[math]$$2i\frac{\partial E}{\partial  z}=\alpha(\tau)\frac{\partial^{2}E}{\partial\tau^{2}}$$[/math]
для какой-нибудь вменяемой функции
[math]$$\alpha(\tau)$$[/math]
с граничными условиями
[math]$$E(\tau\rightarrow\pm\infty)=0$$[/math]
?
Мне это нужно для тестирования разностной схемы. Заранее спасибо.

stream_24

Для константной альфа можно подобрать решение.
Из какой области уравнение?

Brina

Если альфа константа — решение известно, например, для гаусса на входе. Я уже протестировал, в этом случае все отлично. Только надо протестировать для непостоянной альфа и, например, гаусса в начальных условиях. Или не гаусса, но чтоб к нулю на бесконечночти стремилось.
По физическому смыслу это должно быть уравнение дисперсии излучения лазерного импульса с переменным коэффициентом дисперсии второго порядка.

Brina

Может, и поможет... Буду пробовать...

stream_24

Для разделения переменных мало данных.

stream_24

Да, видимо, именно это решение я и имел в виду.
При постоянном alpha данное уравнение - уравнение Шрёдингера с нулевым потенциалом, где z - время, а tau - пространственная переменная).
Задача решается в неограниченной (по tau) области?

Sergey79

Пишем E(z,t)=Y(t)*exp(z/2i) и решаем одномерное уравнение по t:
[math]$ 1/\alpha(t)=Y''$[/math]
Чтобы Y убывало на бесконечности, подбираем подходящую альфу, решая обратную задачу - элементарное дифференцирование. Например, мы хотим, чтобы Y=1/(1+t^2). Дифференцируем два раза и получаем
[math]$1/\alpha(t)=2(3t^2-1)/(1+t^2)^3$[/math]
Далее подбираем начальные условия, чтобы вышло именно это решение (на случай если оно вдруг не единственное). И тестируем разностную схему=).

Brina

Да, при простоянном альфа — это оно. Вообще такого вида уравнения много чего описывают... Я с ним работаю как с уравнением распространения лазерного излучения.
Задача решается на области по тау от -inf до inf.

Brina

Спасибо, буду думать над этим.

Brina

Сопоставил свое численное решение с тем, что численно дает матлаб — сходится.

stream_24

А каким образом матлаб твою задачу решает?

Brina

Использую функцию pdepe.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: