Задача на матрицы

mtk79

Или я мозгульки забыл в роддомульке:
Есть действительнозначная матрица (n-1)\times n.
(n-1) штук строк. Сумма элементов каждой строки =0, квадратов каждой строки =1.
Как доказать (если вообще конжектура верна что сумма квадратов элементов каждого столбца — штука постоянная (т.е. не зависит от номера столбца) [И, как следствие, равна (n-1)/n] прямыми рассуждениями (не по индукции)?

Hana7725

Нет, конечно. Например, такая матрица может иметь столбец из нулей. Суммы для столбцов будут иметь в этом случае по крайней мере два различных значения.

seregaohota

Ну возьми первый столбик весь сплошняком из элементов = -\sqrt(2)/2, а второй из =\sqrt(2)/2.
По строчкам всё будет выполнено, а по строкам сам понимаешь противоречие твоему утверждению. Или я во что-то не въехал?

mtk79

конечно же, я забыл самое главное (все-таки, иногда нужно спать по ночам): строки ортогональны: \sum_{k=1}^{n} a_{ik}a_{jk}=\delta_{ij}

mtk79

Все, додумал (какой-то проходивший мимо барыга продал какие-то мозги, утверждал, что мои — те самые, что я оставил в нежном возрасте, когда у меня была самая круглая дата — а проводить экспертизу ДНК не было ни времени, ни средств).
Всем спасибо, извините за дезу.

Hana7725

[math]  $$  \frac1{\sqrt2}\left(  \begin{array}{ccc}  1&0&-1\\  -1&0&1  \end{array}\right)  $$  [/math]

mtk79

это Вы написали с учетом моего замечания от 10:14?

Hana7725

Ага :)

mtk79

у Вас строки коллинеарны, а не ортогональны

Hana7725

Точно, надо в одном месте заменить 1 на -1 :p

mtk79

тогда сумма строки не будет 0

seregaohota

Тогда да.
Твои строки будут в R^n являться векторами частью некоторого ортонормированного базиса e_1, e_2, e_{n-1}. Просто дополним матрицу ещё последней строчкой e_n - вектором единичной длины ортогональным подпространству из заданных строк. Все координаты e_n очевидно равны 1/sqrt(n) в силу условия, что сумма элементов в строке исходной матрицы A равна 0.
Тогда такая расширенная матрица будет обладать свойством O O' = 1, где O расширение твоей исходной A, O' - транспонированная, 1 - единичная.
Значит O'=O^{-1} и O'O=1, т.е. столбцы O тоже ортогональный базис. Складывая получишь сумма квадратов (по столбцу A) + 1/n = 1. Про сумму по столбцу ничего особо умного утверждать нельзя IMHO, потому что можно в одной строке все знаки изменить и сумма по столбцу изменится.
.

mtk79

конечно, я так и решил, стоило только найти, чем подумать. Спасибо
А про сумму самих эл-то втолбца и не нужно: нужны были только квадраты
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: