Задача математической физики

tramway5


Ищется численное решение такой вот задачи. Все индексированные коэффициенты и функции заданы. Начальные условия заданы. Подскажите пожалуйста методы, которые могли бы быть использованы при решении такой задачи. Все умные замечания и критика приветствуются.
Спасибо.

kachokslava

интегралы по иксу берутся? освободи плиз подынтегральную переменную от зависимости в уравнении. т.е. для правильности хочется увидеть примерно следующее:
первое уравнение такое?
[math]  $$  \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}=\alpha_1 f(x,y)+\alpha_2f^2(x,y)\int_{0}^{\infty}  \phi_1(t)\psi(t,y)dt  $$  [/math]

tramway5

Да, совершенно верно, я в самом деле умудрился забыть переменную интегрирования. Интегралы берутся по иксу. Эти два уравнения будут выглядеть так:

Прошу прощения за кривизну картинки - у меня шаблона не осталось в ворде.

Boris

А какой вид у [math]$\phi_1$ [/math] ?
Если хорошо убывает на бесконечности, то можно для начала попробовать что-нибудь самое примитивное, типа Эйлер + проинтегрировать трапециями в конечных пределах:
[math]$\frac{f_{i, j+1} - f_{i, j}}{h_y}=\alpha_1 f_{i,j}+\alpha_2 f_{i,j}^2 h_x( \frac{1}{2}\phi_{1 0} \psi_{0, j}+\sum_{k=1}^{N-1} \phi_{1 k} \psi_{k,j}+\frac{1}{2}\phi_{1 N} \psi_{N, j})$[/math]
Здесь
[math] $f_{i, j}=f(i h_x, j h_y) $[/math]
PS. Но скорее всего такая схема развалится :)

toxin

Можно сразу сказать, что если [math]$\alpha_4<0$[/math], то задача не корректная.

tramway5

на самом деле все индексированные функции имеют сингулярность по иксу в нуле (точки разрыва 2-го рода). Что с этим делать я пока что ещё думаю. Вероятно прийдётся вводить какие-то ограничения на поведение искомых функций вблизи нуля и сшивать решения.
Выбор метода который "не развалится" и является основной проблемой )
P.S. да, все индексированные функции хорошо убывают на бесконечности так или иначе, если это действительно важно.

tramway5

Из-за того что численными методами, дифурами и прочим, я занимался довольно давно - плохо понимаю почему именно задача не корректна при отрицательном значении этого коэффициента, если можно поясни.
А вообще первые два индексированных коэффициента отрицательны, вторые два -положительны, пятый и шестой - отрицательны.

Boris

Больше подробностей о поведении индексированных функций в студию.
Например, если
 [math] $$\phi_1(x) \sim x^{-q},\quad x \to 0,\quad q>-1$$ [/math]
 [math] $$\phi_1(x) \sim e^{-x},\quad x \to \infty$$  [/math]
то можно провернуть что-то в духе
[math]   $$\int_0^\infty \phi_1(t)\psi(t,y) dt=\int_0^\infty (\phi_1(t)-t^{-q}e^{-t})\psi(t,y)dt + \int_0^\infty t^{-q}e^{-t}(\psi(t,y)-\psi(0,y) dt + \psi(0,y) \int_0^\infty t^{-q}e^{-t}dt $$  [/math]

tramway5

На самом деле в этой задаче индексированные функции могут быть заданы совсем по-разному в зависимости от выбранного приближения. Наиболее простой случай, но тем не менее не тривиально для меня разрешимый, когда все индексированные функции выражаются целочисленными отрицательными степенями (x). Так, например :

Boris

Можно попробовать замену типа такой
[math]$ \psi(x,y)=\left(\frac{x}{x+1}\right)^q\xi(x,y)$[/math]

alexandr8

Это к фи относится , я так понимаю ? или всё же к пси ?

tramway5

Ой, последний пост мой. Под логином соседа написал случайно.

Boris

Фи заданы, пси ищем. К пси конечно.

tramway5

А , всё, понял. Спасибо. Попробую.
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: