Параметризировать вектор

lenmas

Есть единичный вектор e(t) в R^3, непрерывно зависящий от времени. Он параметризуется обычными сферическими координатами (cos ψ cos θ, cos ψ sin θ, sin ψ).
Вопрос: как его параметризовать, чтобы ψ, θ менялись тоже непрерывно, зная все про e(t то-есть его производные, можно интегрировать, дифференцировать?

BSCurt

Вопрос: как его параметризовать, чтобы ψ, θ менялись тоже непрерывно, зная все про e(t то-есть его производные, можно интегрировать, дифференцировать?
Вопрос не понятен, если честно. Обратные тригонометрические функции, чем не годятся, чтобы выразить ψ, θ?

lenmas

Обратные тригонометрические функции, чем не годятся, чтобы выразить ψ, θ?
Ну например если в этих формулах ψ переходит через π/2, то обратными тригонометрическими формулами
получается, что ψ отражается от прямой ψ=π/2 (так как он не может стать больше π/2 а θ претерпевает скачок
на π. Мне же нужно, чтобы θ осталось непрерывным, а ψ поползло дальше за π/2 вверх.

BSCurt

Ну так как бы ψ и θ естественно живут на двумерном торе, который никак не гомеоморфен двумерной сфере (а отображается на неё как разветвленное двукратное накрытие что ли поэтому естественно что у функций ψ и θ по два значения, хотя да нервное как какой-нибудь интеграл от e(t) и производных по времени должны выражаться.

BoBochka

Вроде бы это не возможно, ибо сфера односвязна, а значит её нельзя накрыть каким-либо "хорошим" в Вашем смысле пространством параметров кси и тета.
Вот если бы была не сфера, а тор, то его можно было накрыть плоскостью и получилось бы то, что Вам хочется.

lenmas

Вроде бы это не возможно, ибо сфера односвязна, а значит её нельзя накрыть каким-либо "хорошим" в Вашем смысле пространством параметров кси и тета.
Так я же не однозначно хочу. Или такое тоже невозможно?

BSCurt

Наверное если взять интеграл
 [math]$\psi (T)-\psi (0)=\int_0^T \frac{1}{\sqrt{1-z(t)^2}} \frac{d z(t)}{d t} dt$[/math]
то будет счастье,
для θ что то аналогичное.

BoBochka

Так я же не однозначно хочу.
Да, разумеется, не однозначно, я говорю о накрытии (т.е. о локально тривиальном расслоении с дискретным слоем).
Или такое тоже невозможно?

Думаю, опрометчиво было бы утверждать о невозможности, пока нет четкой формулировки задачи. :)

lenmas

хотя да нервное как какой-нибудь интеграл от e(t) и производных по времени должны выражаться.
Ну вот θ можно выразить, если cos ψ не проходит через нуль. То-есть если e(t)=(x(ty(tz(t то тогда
[math]  $$  \theta=\int\limits_0^t\frac{y^\prime(\tau)x(\tau)-x^\prime(\tau)y(\tau)}{x^2(\tau)+y^2(\tau)}\,d\tau  $$  [/math]
должно подойти.
Если же cos ψ проходит через нуль, то предел отношения y(t)/x(t)=cos ψ sin θ / (cos ψ sin θ) можно найти по
правилу Бернулли—Лопиталя, то-есть в этом случае θ тоже находится однозначно.
Но как написать общую формулу через интегралы—производные, не пойму :(

BoBochka

А что, если взять в качестве пространства расслоения S^3, тогда вроде бы получится локально тривиальное расслоения S^3 -> S^2 со слоем S^1? Другими словами, можно было бы "параметризовать" вектор e(t) с помощью SO_3-матрицы (или кватерниона с нормой 1 правда появится дополнительный лишний параметр, отвечающий за вращение вектора e(t) вокруг самого себя ...

lenmas

Думаю, опрометчиво было бы утверждать о невозможности, пока нет четкой формулировки задачи.
Четкая формулировка задачи: найти аналитическими (интегрирующе-дифференцирующими операциями от функций
компонент вектора e(t методами хотя бы один набор непрерывных функций ψ(t θ(t) c заданными начальными условиями ψ(t_0)=ψ_0, θ(t_0)=θ, параметризующий вектор e(t) в виде (cos ψ cos θ, cos ψ sin θ, sin ψ).
Если то, что ты пишешь про расслоения, правда, то это печально :(

lenmas

Другими словами, можно было бы "параметризовать" вектор e(t) с помощью SO_3-матрицы, правда появится дополнительный лишний параметр, отвечающий за вращение e(t) вокруг самого себя...
Ты имеешь в виду с помощью матрицы перехода в базис, первый базисный вектор которого наш e(t)? Но это какое-то
странное решение, не той задачи.

lenmas

Наверное если взять интеграл
 
то будет счастье,
А это даст именно ψ? Было бы классно, но я не вижу почему это даст угол :confused:

BoBochka

Но это какое-то
странное решение, не той задачи
А как иначе "поднимешь" путь вектора e(t) c нашей базы (сферы S^2) в удобное с аналитической точки зрения пространство расслоения (а S^3 — как раз удобно с аналитической точки зрения)? Пока других идей у меня нет ...

lenmas

(а S^3 — как раз удобно с аналитической точки зрения)
Как ты удобно параметризуешь S^3 с помощью параметров? Там та же проблема, не?

BSCurt

Я там затупил, опечатка, идея была продифференцировать [math]$arcsin z(t)$[/math] по t, потом проинтегрировать по t.

BoBochka

Как ты удобно параметризуешь S^3 с помощью параметров? Там та же проблема, не?
Конечно, нет. S^3 — это же группа Ли SU(2) или группа кватернионов с нормой 1, как Вам удобнее.

lenmas

Конечно, нет. S^3 — это же группа Ли SU(2) или группа кватернионов с нормой 1, как Вам удобнее.
Ну и толку мне с кватернионов — там же никакой наглядности нету :)

lenmas

Я там затупил, опечатка, идея была продифференцировать arcsin z(t) по t, потом проинтегрировать по t.
Я проверил численно, этот способ дает абсолютно то же самое, что и arcsin z(t). То-есть знак возрастания ψ(t) тупо съедается и полученный с помощью интеграла угол опять отражается от прямой ψ=π/2 :crazy:

broroman

Есть единичный вектор e(t) в R^3, непрерывно зависящий от времени. Он параметризуется обычными сферическими координатами (cos ψ cos θ, cos ψ sin θ, sin ψ).
Вопрос: как его параметризовать, чтобы ψ, θ менялись тоже непрерывно, зная все про e(t то-есть его производные, можно интегрировать, дифференцировать?
Для непрерывности в этих сферических координатах опасно только шатание е(т) через полюса.
Если он их не пересекает --- просто полярный угол будет бегать по всей прямой, а разве это плохо?
Непрерывно всё будет и столь же гладко, как гладка е(т).

toxin

Думаю понадобятся двойные интегралы и разрывные функции вроде [math]$\int_0^{2\pi} \frac{1-a^2}{a^2-2a\sin(\varphi)+1} d\varphi$[/math].

lenmas

Для непрерывности в этих сферических координатах опасно только шатание е(т) через полюса.
Если он их не пересекает --- просто полярный угол будет бегать по всей прямой, а разве это плохо?
Непрерывно всё будет и столь же гладко, как гладка е(т).
Ну вот как раз борьба с перелазаньем ψ через π/2 и идет. Понятно, что если через него не проходить, то все будет
нормально. Но в том-то и дело, что если при маломеняющемся θ мы пытаемся развернуться по ψ, то неизбежно
попадаем на эту точку. И все ломается. Даже если точно не проходим через полюс сферы, то все равно даже по θ
получается большая ошибка и вообще разрыв.
При этом по θ мы можем крутиться как угодно, а вот по ψ оно не дается :(

lenmas

Думаю понадобятся двойные интегралы и разрывные функции вроде .
А чуть поподробней мона?
Я так понял, что ты написал интеграл Пуассона или что-то типа гармонической меры?

toxin

Я написал интегрирование 1/(z-a) по единичной окружности. Как написать подобный интеграл для конкретной задачи или хотя бы полярных координат я пока не придумал.

broroman

если при маломеняющемся θ мы пытаемся развернуться по ψ, то неизбежно
попадаем на эту точку. И все ломается. Даже если точно не проходим через полюс сферы, то все равно даже по θ
получается большая ошибка и вообще разрыв.
При этом по θ мы можем крутиться как угодно, а вот по ψ оно не дается
Не понял, почему если не переходим через полюса то что-то плохо?
Полярный радиус (в плоскости Оху) не обращается тогда в нуль и "тета" непрерывна, а "пси" вообще без проблем.

sashok01

не очень понял вопрос. Если нужно знать именно тетта и пси в каждый момент времени, и, предположим, что формула существует, то чему равно пси и тетта при (x,y,z) = (0,0,+-1) ?
Или нужна другая (двумерная) параметризация сферы?

lenmas

Ну очевидно, что psi=+-pi/2, theta такое же, как и до подхода к этим точкам.

lenmas

Не понял, почему если не переходим через полюса то что-то плохо?
Полярный радиус (в плоскости Оху) не обращается тогда в нуль и "тета" непрерывна, а "пси" вообще без проблем.
Ну вот смотри. Мы проходим через северный полюс, пусть даже чуть промахиваемся. Так вот при этом psi нарастает к pi/2, ну а theta сначала вроде сохраняет примерно постоянное значение (примерно под тем углом, под которым мы подходим к полюсу но потом при проходе около полюса theta резко скачет на pi или -pi (в зависимости от того, слева или справа мы обходим полюс а psi (по обычным формулам если) начинает опять уменьшаться от pi/2 вниз.
А мне надо, чтобы theta осталось таким же после прохода полюса, а psi продолжила увеливаться (выше pi/2).
Может, это и нонсенс вблизи полюса (так как там реально по непрерывности theta должно скакнуть на pi но при отдалении от полюса мне можно считать, что мы прошли точно через полюс и сделать таким образом theta и psi без резких скачков.

broroman

А мне надо, чтобы theta осталось таким же после прохода полюса, а psi продолжила увеливаться (выше pi/2).
я бы назвал это поистине амбициозным проектом, достойным Сколкова. В смысле меньше чем за лимон баксов браться за такое не советую :)

lenmas

я бы назвал это поистине амбициозным проектом, достойным Сколкова. В смысле меньше чем за лимон баксов браться за такое не советую
Ну да, согласен.
Про psi вроде способ Неймлесс-Вана работает, с единственной оговоркой, что при попадании в epsilon-окрестность
особых точек нужно менять знак подынтегрального выражения.
Про theta возникла такая идея, что при нахождении в epsilon-окрестности особой точки (все время, пока там находится нужно занулять производную theta, и тогда все будет Ok :D
Оставить комментарий
Имя или ник:
Комментарий: